2015 Fiscal Year Research-status Report
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26400090
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
森本 雅治 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (30166441)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 変換群 / 多様体 / 有限群 / 不動点集合 / 手術理論 / Mackey 関手 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限群 G と閉多様体 X を固定して考えよう．閉多様体 F が X 上のG-作用の不動点集合になるか，否かを判定する理論の構築を目指して研究を進めている．昨年度までの研究ににより，G が 5次の交代群 A_5 で X が球面や複素射影空間の場合において，F が球面上のG-作用の不動点集合になり，その接空間が X の一点での作用と適合するならば F は X の不動点集合になることを示した．これらの X は単連結空間であるため，平成２７年度の研究では X が実射影空間やレンズ空間などの基本群が非自明な場合において研究し，同様な結果を証明できた．
この研究過程で，G の部分群のなす圏 S(G) から可換群のなす圏 C(G) への Mackey 関手 M : S(G) -> C(G) について，次で定める商群 Q(G, F) の研究が重要であることが判明した．まず F を，部分群と共役について閉じた S(G) の部分圏とする．このとき M(H)（H は F の対象を渡る）の逆極限 lim M(F) と自然な制限写像 res_F : M(G) -> lim M(F) が定まる．そこで，Q(G, F) を商群 lim M(F)/Im(res_F) と定義する．閉多様体上のG-作用の研究では，Mackey 関手 M が，Burnside 環 A(-) や 単純ホモトピー同型を得るための手術障害類群（Wall 群） L_n (-) である場合に，Q(G, F) を研究することが特に重要である．これらの場合において，さらに F が G の真部分群全体であるとき，Q(G, F) が自明な群であることを証明した．上で述べた G が A_5 で X が実射影空間やレンズ空間の場合の研究成果は，この Mackey 関手の研究結果を用いて得られたものである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
G が単純群で F が G の真部分群の全体であるとき，商群 Q(G, F) が自明であることが証明できた．これにより G が５次の交代群の場合に X を実射影空間やレンズ空間とするとき（部分群によるフィルトレーションに沿った）同変手術の遂行が可能となり，平成２７年度までに目指した課題の克服ができ，研究は順調に進んでいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究は G が５次の交代群の場合に，部分群による不動点集合のフィルトレーションを精査して同変手術の可能性を調べて不動点集合の安定性を研究してきた．この手法を G が非自明な単純群の場合へと拡張し，非自明な単純群の場合にG-不動点集合の安定性を研究する．
この研究を円滑に進めるために，国内，国外の研究集会に積極的に参加し，研究情報の収集を行う．
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| Causes of Carryover |
次年度繰越金が 5,432 円生じた．これは年度末に出張依頼をした経費が予想より少し少額であったためです．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
上記繰越金 5,432 円は少額であるため次年度に物品費として使用することを希望します．
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Research Products
(6 results)
