2017 Fiscal Year Research-status Report
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26400093
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
相馬 輝彦 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (50154688)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
今井 淳 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (70221132)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 微分同相写像 / 遊走領域 / 双曲多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
無限体積を持つ双曲3次元多様体の剛性定理を，体積を用いた手法を使って研究している．このような多様体の剛性定理としては，Y. Minsky 等によって証明されたエンディング・ラミネーション定理が有名である．この剛性定理により，単純退化エンドの不変量であるエンディング・ラミネーションと幾何的に有限なエンドの不変量である等角構造が一致する場合，2つの双曲3次元多様体は等長的であることが明らかになった．平成29年度は本研究課題として，有限体積の場合の M. Gromov と W. Thurston による体積を利用した剛性定理の無限体積版を考えた．特に無限体積の双曲3次元多様体の間の，同相写像 h が擬直伸体積保存性を持つならば，h は双リプシッツ写像と固有ホモトピー同値であることが証明できた．この性質自体は技巧的であり，より一般的な定義の特殊な場合として扱われるように改変する必要があると考えられる．しかし，現在得られている結果だけでも，有界コホモロジー基本類が同じ双曲3次元多様体は双リプシッツ同値であることが示せる．さらに，この結果と D. Sullivan の剛性定理を使えば，エンディング・ラミネーション定理の別証明が得られる．Minsky による，この定理のオリジナルの証明では，曲線複体の理論が本質的に重要であったが，本研究で得られた証明は曲線複体を全く利用することなく，体積の拡張率を比較する手法を使うものである．
さらに桐木紳氏（東海大学教授），中野雄史（北見工業大学助教）との共同研究によって， 異次元サイクルをもつ3次微分同相写像に関する遊走領域の存在や，ランダム力学系とヒストリック的挙動をもつ微分同相写像の関係についての結果が得られた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
3次元微分同相写像の研究は，力学的な見地から興味深い結果が得られている．本研究代表者達によって平成28年度に得られた，遊走領域の存在に関する F. Takens の最終問題の解決が，特に重要である．平成29年の研究を通じ，この結果が多様な応用を持つことが分かった．
無限体積の双曲3次元多様体の剛性定理は，全く新しい方向からの研究であり，今後のさらなる発展が期待できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
(1) 微分同相写像の研究は，今後も桐木紳氏，中野雄史氏と共同で進めていく．特に，創発性の問題は，軌道の複雑さ・多様性を研究するのに不可欠であると考えている．
(2) 無限体積の双曲3次元多様体の剛性定理の研究は，研究分担者の今井淳氏の協力を仰ぎながら進めていく．今年度中に論文としてまとめ，専門誌に投稿することを計画している．
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| Causes of Carryover |
3次元微分同相写像に関する投稿論文に関し，査読者との意見の不一致により掲載受理が遅れ，この結果の発表に使用する予定の経費が平成29年度内に執行できなかったため．
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