2016 Fiscal Year Research-status Report
ザイフェルト多様体, L-空間, 基本群の左不変順序とデーン手術の総合的研究
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26400099
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
茂手木 公彦 日本大学, 文理学部, 教授 (40219978)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | Dehn手術 / L-空間 / L-空間結び目 / twisting operation / 結び目のバンド和 / 基本群の両側不変順序 / generalized torsion |
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| Outline of Annual Research Achievements |
レンズ空間をHeegaard Floer理論の立場から一般化したL-空間は最も単純なHeegaard Floerホモロジーをもつ有理ホモロジー３球面として定義され、現在活発な研究がなされている。L-空間を構成する際に3次元球面内の結び目のDehn手術は非常に有効で、L-空間を生み出す非自明なDehn手術(L-空間手術)を許容する結び目はL-空間結び目と呼ばれる。L-空間結び目が与えられると無限個のL-空間を得ることができる。本研究では結び目のねじり操作、バンド和でいつL-空間結び目が生じるかという問題に取り組んだ。昨年度までの研究では、結び目のツイスト族が無限個のSeifert L-空間手術をもつ結び目を含むための十分条件が与えられていたが、本年度はKenneth Baker氏との共同研究で、Seifert手術とは限らないL-空間手術をもつ結び目を無限個含むための十分条件を与えることができた。また、昨年度の研究で未解決であった絡み数が１のツイスト族に対するHedden-Watson予想を肯定的に解決することができた。現在、Baker氏と結び目のツイスト族が無限個のL-空間結び目を含む必要条件を与えることを目標に研究を進めている。バンド和に関してはタイト接触構造をサポートするファイバー結び目がバンド和になるかという問題にBaker氏と取り組み、バンド和ではL-空間結び目が生じないことを証明した。また、色付きJones多項式と結び目外部空間内の本質的曲面の関係に関するGaroufaridis氏によるスロープ予想に関して高田敏恵氏と共同研究を行い、グラフ結び目に対してスロープ予想が正しいことを証明した。さらに、寺垣内政一氏との共同研究で多くの3次元多様体に対して基本群が両側不変順序をもたないこととgeneralized torsionをもつことが同値であることの証明に成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
L-空間結び目に関するHedden-Watson予想（Knot Heegaard Floerホモロジーが同型となるL-空間結び目は高々有限個）は、Knot Heegaard Floerホモロジーが粗い意味でL-空間結び目を決定するということを予想するものであり、その解決は様々な応用をもたらすことが期待される。本年度のBaker氏との共同研究で、結び目のツイスト族に対して予想を解決することができた。また、結び目のツイスト族が無限個のL-空間結び目を含むための十分条件を、Seifert手術を仮定しない形で得られた点は大きな進展であった。本研究で得られた知見、手法は今後、結び目のツイスト族が無限個のL-空間結び目を含むための必要条件を考察していく上でも有効であることが期待される。また、結び目のバンド和に関してはBaker氏との共同研究で、タイト接触構造をサポートするファイバー結び目がバンド和で得られる場合を完全に決定することができ、その帰結としてL-空間結び目がバンド和では生じないことが明らかになった。基本群の不変順序に関しての研究は昨年度まで進んでいなかったが、本年度は寺垣内氏との共同研究で、両側不変順序とgeneralized torsionの関係に着目し、双曲幾何以外の幾何構造をもつ3次元多様体に対して、その基本群がgeneralized torsionをもつことと両側不変順序をもたないことが同値であるという結果を得ることができた。また、Garoufaridis氏によるスロープ予想について高田氏と共同研究を行い、グラフ結び目に対して予想を解決し、研究の裾野を広げることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度のBaker氏との共同研究で結び目のツイスト族が無限個のL-空間結び目を含むための十分条件を与えることができたので、今後は必要条件、ならびにL-空間結び目を無限個含む結び目のツイスト族の特徴付けに取り組みたいと考えている。具体的には結び目のツイスト族を考える上で、ツイストする方向を決める円板と結び目の幾何的交点数と代数的交点数の関係や結び目が円板に対してブレイド状になっているか、などについての研究を推進する。これまでに知られている例から、結び目をねじって無限個のL-空間結び目を得るためには、ねじる方向を決める円板と元の結び目は常に同じ方向で交わることが予想される。さらに、正の方向にねじっても負の方向にねじっても、無限個のL-空間結び目が生じる際には結び目が円板に対してブレイド状になっていることが期待される。これらの関係が明らかになると、サテライト結び目がいつL-空間結び目になるかという、最近注目を集めている問題に対する応用も可能となる。また、結び目のツイスト族が有限個のL-空間結び目しか含まない時、その個数に普遍的な上限が存在するかという問題についても調べていきたい。L-空間結び目はブレイド理論に起源をもつstrongly quasipositive結び目や接触幾何に起源をもつtightファイバード結び目とも深い関係をもっているので、広い視点に立って研究を進め、何が本質的なのか明らかにしていきたい。３次元多様体の基本群の左不変順序やそれを強めた両不変順序の研究に関しては、現在進行中の寺垣内氏との共同研究を推し進め、結び目のDehn手術で得られた3次元多様体の基本群がgeneralized torsionをもつことを証明したい。
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| Causes of Carryover |
2017年11月に韓国で開催される国際会議での講演、2018年1月から2月にかけてフランスで開催される国際会議での講演、テキサス大学での講演などの成果発表、ならびに、マイアミ大学でのBaker氏との共同研究のための出張が予定されており、2017年度の海外出張旅費が予定より多く必要になったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度の出張旅費予算に残額分をプラスして、研究成果発表、共同研究の推進のための出張旅費として有効に使用する。
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