2017 Fiscal Year Research-status Report
ザイフェルト多様体, L-空間, 基本群の左不変順序とデーン手術の総合的研究
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26400099
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
茂手木 公彦 日本大学, 文理学部, 教授 (40219978)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | Dehn手術 / L-空間 / L-空間結び目 / twisting operation / 結び目種数 / ４次元結び目種数 / スロープ予想 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
レンズ空間をHeegaard Floer理論の立場から一般化したL-空間は最も単純なHeegaard Floerホモロジーをもつ有理ホモロジー３球面として定義され、現在活発な研究がなされている。手術係数が0以外のDehn手術で得られる多様体はすべて有理ホモロジー３球面なので、L-空間を構成する際に3次元球面内の結び目のDehn手術は非常に有効である。L-空間を生み出す非自明なDehn手術(L-空間手術)を許容する結び目はL-空間結び目と呼ばれ、L-空間結び目が与えられるとDehn手術により無限個のL-空間を得ることができる。本研究では、結び目のねじり操作でいつ無限個のL-空間結び目が生じるかという問題に取り組んだ。昨年度までのKenneth Baker氏との共同研究では、ツイスト族がL-空間結び目を無限個含むための十分条件を与え、絡み数が１のツイスト族に対するHedden-Watson予想を肯定的に解決したが、本年度はL-空間結び目を無限個含むための必要条件に重点を置いて研究を展開した。そのために、３次元結び目種数(Seifert種数)と４次元結び目種数(slice種数)が結び目のねじり操作のもとでどのように振る舞うかという問題を設定して研究を進め、結び目をねじる回数を大きくしていった際に３次元結び目種数と４次元結び目種数が漸近的に同じ振る舞いをするための必要十分条件を完全に決定することに成功した。この結果から、結び目のツイスト族がタイト接触構造をサポートするファイバー結び目やL-空間結び目を無限個含むための必要条件を与えることができた。また、昨年度に引き続き、色付きJones多項式と結び目外部空間内の本質的曲面の関係を示唆するGaroufaridis氏によるスロープ予想に関して高田敏恵氏と共同研究を行い、ある種の周期的結び目に対してスロープ予想が正しいことを証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度までのKenneth Baker氏との共同研究で、結び目のツイスト族が無限個のL-空間結び目を含むための十分条件をSeifert手術の存在を仮定しない形で得られていたが、本年度の研究でさらに結び目のツイスト族が無限個のL-空間結び目やタイト接触構造をサポートするファイバー結び目を含むための必要条件を与えることができた点は大きな進展であった。これにより結び目のねじり操作とL-空間結び目に関する研究の目標の一つが達成されたことになる。この結果をブレイド理論の視点からさらに深化、精密化することが今後の課題である。本研究の手法は結び目のツイスト族を４次元トポロジーの視点から考察したもので、L-空間結び目の研究とは独立した研究としても興味深いものである。また、Garoufaridis氏によるスロープ予想は当初は計画されていなかった研究対象であるが、Dehn手術の研究で培われた３次元トポロジーの技術と量子不変量である色付きJones多項式の研究がうまく機能し、ある種の周期的結び目のスロープ予想に関して興味深い結果を得た。これらの研究を通して研究の裾野を広げることができた。昨年度、基本群の不変順序に関する寺垣内政一氏との共同研究で、3次元多様体に対して基本群が両側不変順序をもたないこととgeneralized torsionをもつことが同値であるという予想を提出した。この予想から0以外の非自明なDehn手術で得られる３次元多様体はgeneralized torsionをもつことが期待される。本年度は伊藤哲也氏も共同研究に加わり、結び目のDehn手術で得られた３次元多様体の基本群がgeneralized torsionをもつか、という研究を展開中である。また伊藤氏、寺垣内氏との共同研究では、結び目群とDehn手術の関係という少し広い視点からの研究も現在進行中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度のKenneth Baker氏との共同研究で結び目のツイスト族が無限個のL-空間結び目を含むための必要条件を与えることができた。今後の研究ではL-空間結び目を無限個含む結び目のツイスト族の特徴付けに取り組みたいと考えている。さらに、正の方向にねじっても負の方向にねじっても、無限個のL-空間結び目が生じるようなツイスト族の特徴付けを与えたいと考えている。具体的には、このようなツイスト族に対して、ツイストを施す円板と結び目の幾何的交点数と代数的交点数の関係や結び目が円板に対してブレイド状になっているか、またブレイド状になっている時にはどのようなブレイドか、という現在進めている研究をさらに深化させていきたい。L-空間を生み出す正整数の手術を許容する非自明な正L-空間結び目とL-空間を生み出す負整数の手術を許容する非自明な負L-空間結び目を含む結び目のツイスト族は無限個のL-空間結び目を含むことが期待されるので、この事実の証明にも取り組みたいと考えている。また、結び目のツイスト族が有限個のL-空間結び目しか含まない時、その個数に普遍的な上限が存在するかという問題についても調べていきたい。L-空間結び目はブレイド理論に起源をもつstrongly quasipositive結び目や接触幾何に起源をもつタイト接触構造をサポートするファイバード結び目とも深い関係をもっているので、広い視点に立って研究を進め、何が本質的なのか明らかにしていきたい。３次元多様体の基本群の左不変順序やそれを強めた両側不変順序の研究に関しては、現在進行中の伊藤哲也氏、寺垣内政一氏との共同研究を推し進め、結び目のDehn手術で得られた3次元多様体の基本群がgeneralized torsionをもつことを証明したい。また、より一般に結び目群の構造についての研究も進めていく予定である。
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| Causes of Carryover |
テキサス大学での成果発表、ならびに、香港中文大学での成果発表でホテル代を含む海外旅費を計上していたが、ホテル代を主催者側で援助して頂くことになり、次年度使用額が生じた。
次年度の出張旅費予算に残額分をプラスして、研究成果発表、共同研究の推進のための出張旅費として有効に使用する。
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Research Products
(14 results)
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[Book] 幾何学序論2018
Author(s)
市原一裕, 鈴木正彦, 茂手木公彦
Total Pages
227
Publisher
日本評論社
ISBN
978-4-535-78859-6
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