2017 Fiscal Year Annual Research Report
Cosmetic surgery conjecture for alternating knots
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26400100
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
市原 一裕 日本大学, 文理学部, 教授 (00388357)
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2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 低次元トポロジー / ３次元多様体 / デーン手術 / 矯飾的手術 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，3次元多様体内の結び目に関する矯飾的手術予想の解決にむけて研究を行うことであった。矯飾的手術予想とは「向きも込めて同相な3次元多様体を生成するデーン手術（純矯飾的手術）は存在しないだろう」というものであり，結び目理論における重要な結び目補空間予想の一般化として注目されている。本年度が当該課題の最終年度にあたり，これまでの結び目不変量・双曲幾何・ヒーガード分解によるアプローチを融合して研究を行った。
結び目不変量を用いた研究として，Zhongtao Wu氏 （香港中文大学）との共同研究により，よく知られた不変量であるジョーンズ多項式を用いて，結び目が純矯飾的手術を許容するための必要条件を与えることができた。実際，この条件を適用して，8個の例外を除いて最小交点数が11以下の全ての結び目について矯飾的手術予想が正しいことを示すことができた。一方で，鄭 仁大氏 （近畿大学）との共同研究により，同相ではあるが向きが異なる３次元多様体を生成するデーン手術（対掌矯飾的手術）について，これまで知られていなかった双曲多様体を生成する例を構成することができた。これは， 矯飾的手術予想の成立範囲の限界を把握する上で重要な研究であると考えている。これらの結果は，それぞれ共著論文として執筆し，すでに学術雑誌への掲載が確定し，現在印刷中である。
一方で，3次元多様体のヒーガード分解に対応する結び目/絡み目の橋分解についても研究を行い，ランダムに複雑性を増すような橋分解を持つ絡み目について，その最頻成分数と双曲性に関する結果を得た。これらの結果はそれぞれ，吉田健一氏(日本大学)，Jiming Ma 氏(復旦大学)との共著論文として発表した。
またさらに関連する研究として，絡み目の最小交点図式における整数彩色の色数についても研究を行い，松土恵理氏(日本大学)との共著論文として発表した。
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