2015 Fiscal Year Research-status Report
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26400102
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
岸本 晶孝 北海道大学, -, 名誉教授 (00128597)
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2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 位相力学系 / バナッハ環 / 既約表現 / エルゴード的測度 / エルゴード的拡張 / Cスター環 / 微分 / 流れ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
位相力学系より決まるバナッハ環の既約表現について。このバナッハ環の（位相的）既約表現は、ふたつの選択をすることによって決まる。ひとつは（コンパクト位相空間上の）準不変なエルゴード的確率測度を選ぶこと、もうひとつは、それによって決まる有界可測関数の空間とⅠ型因子環のテンソル積内のユニタリを次の条件を満たすように選ぶこと：有界可測空間上のエルゴード変換に、このユニタリによる変換を組み合わせたものはこのテンソル積でエルゴード的である。興味深いのは後者の選択で、はたしてそのようなユニタリが存在するかどうかも明らかでない。一般の場合は今も分からないが、ふたつの特別な場合で、有限次元の因子環のとき、この存在を示した。ひとつはベルヌーイシフトに、不変な直積型の確率測度を選んだ場合である。他のひとつは円周上の無理数回転であり、不変測度としてルベーグ測度を選んだ。
最初に述べた既約表現のこの記述の仕方を用いて次のことを示した。既約表現を（Cスター閉方を取る前の）バナッハ環の表現とみなすと、無限次元の場合、「ある条件」のもとでこれは決して代数的に既約でない。（バナッハ環は正確にはL1ノルムで定義した。）その条件は測度が不変であれば成り立つ。不変でないときでも、位相空間上変換として距離を保存すれば成り立つ。これは富山淳氏との共同研究である。
以上は研究計画に直接的に沿うものではないが、力学系に関した問題として解いてみたものである。その他に、Cスター環上の非有界微分の問題を考えた。これは、前段と同じくその定義域の研究ともみなされるので、Cスター環の範囲を離れてバナッハ環の問題ともみなされる。とくに「行儀のよい」微分の定義域の性質について従来から知られている結果を含むような形で拡張することを試みている。これは現在まとめているところである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
富山氏と議論する機会があってから、氏の携わる問題（代数的既約性の問題）およびそれより派生した問題（既約表現の構成の問題）に取り組むようになったため。目下のところコンパクト位相空間上の一つの変換に関する問題のみを考えているが、一径数変換群の場合にも同様の問題を考えることができると思われる（あるいは一般の群の作用に対しても）。ただし直接的な一般化のよっては、特に興味を抱いている場合（内部近似的な場合）との接点をみつけることは困難であるが、従来通りの戦略で、可換な場合から非可換な場合へと地道に歩を進めるべきかと思いなおし、腰を据えて考えることにしたのである。特にバナッハ環の既約表現（力学系に対していえば既約共変表現）の構成法は、それ自体重要であると思われ、エルゴード変換に対する新たな問題意識、知見を提供するものと思っている。
Cスター環上の「流れ」については、あまり進展がないので、その生成作用素たりうる非有界微分について、これまでに知られている知見を発展させて一般化を試みた。これはどこで妥協するかという段階になって、なお不十分と考察を持続している。（例えば、「行儀が良い」という境氏によって導入された微分に対する概念、生成作用素たるに必要な概念を一般化して、内部近似的な生成作用素に対して成り立つような概念を導入することを試みているが、もとの性質に対する結果に匹敵するような有用な結果を導出出来ないでいる。）
「流れ」そのものについては、連続的内部近似と離散的内部近似など興味深い問題があるが、その別を証拠立てる不変量を如何に定義するかという問題がまだ突破できない。（従来知られているようなK理論的な不変量、代数的不変量では不十分であり、平衡状態の様態を識別するような不変量、解析的不変量も、この実体は不明であるが、この識別とは無縁であるように思われ、現在なお研究途上である。）
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| Strategy for Future Research Activity |
富山淳氏との共同研究の継続。研究成果のところで述べたことがらの継続、および位相力学系から決まるバナッハ環についての研究。Cスター環の良いところは、各要素のスペクトルがそのCスター環としての構造を決めることである。これはまたCスター環の欠点でもあって、各要素のノルムを計算するためにそのスペクトルを計算する必要を生じ、Cスター環の「範囲」を知ることは難しい。（逆に言えばバナッハ環の要素のスペクトルは、それをCスター環の中に置くだけでは決まらず、全体像はつかめてもその中での各要素の性質を見極めることは難しい。）こういうバナッハ環とCスター環との関係について、古い問題でありながら、実際上の困難性のためか余り調べられていない（かなり古い結果しか存在しない）。富山氏との共同研究で些かなりともこの関係を明らかにすることをひとつの目的としたい。
Cスター環上の流れについて、従来より「内部近似性」を、あるいはそれに近い性質を研究することを目標としてきたが、それを非有界微分にまで広げたい。「準対角性」に相当する性質、「行儀良さ」にヒントを得て、何らかの意味で内部近似的な微分にしか成り立たないような性質を考察する。
Cスター環上の流れの同値類の分類については、結局その接合積と双対流れの分類にかなり帰着することが分かっているが、こういう問題に直接挑むまえに解決しなければならない問題があることも分かっている。それが、離散的と連続的という内部近似可能性の別である。これについてさらに研究をしたい。
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| Causes of Carryover |
中国石家荘の研究会での滞在費を出費しなかったこと、また体調を心配して他の中国での研究会への出席を取りやめたことによる。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
海外（北米）に出張することで使用する予定。
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Research Products
(1 results)
