2014 Fiscal Year Research-status Report
行列・作用素不等式と量子情報理論・自由確率論への応用
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26400103
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
日合 文雄 東北大学, 情報科学研究科, 名誉教授 (30092571)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 関数解析学 / 作用素 / 行列解析 / 作用素環 / 量子情報 / 自由確率論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
行列・作用素の不等式の研究と量子情報への応用的研究と自由エントロピーの研究を同時並行して行い，所定の成果を得た．
J.-C. Bourin（仏）との共同研究により，行列と作用素に対する対称反ノルムとそのイエンゼン-ミンコフスキー型の凹性と優加法性の不等式について，作用素平均やスペクトルのマジョリゼーションと関連させて研究した．この研究では，従来行列に対して得られていたものより強い不等式を有限フォン・ノイマン環に付随する一般の可測作用素に対して証明することに成功した．
M. B. Ruskai（米）との共同研究により，密度行列に対する量子ダイバージェンスや単調リーマン計量に関して，量子情報路の下での縮小性を測る縮小度数について，各種の縮小度数の間の関係を研究し，キュービット情報路の具体例で計算を行った．目標の結果が得られたので，現在論文を作成中である．
自由確率論と自由エントロピーについて以前から共同研究していた植田好道（九大）と，統計物理的な変分原理の観点から軌道型の自由圧力関数とそれのルジャンドル変換として導入される自由エントロピー（相互自由情報量の一種），さらにルジャンドル変換の等号条件を満たす軌道的平衡トレース状態について共同研究を行い，十分な成果が得られた．
他に，量子情報の分野で最近発展している新しいタイプの量子レ二ィ相対エントロピーの問題から派生したリー-トロッターの積公式を逆向きに補完する行列の極限公式について，K. M. R. Audenaert（英）と共同研究を開始した．行列のマジョリゼーション理論や幾何平均と関係して興味深い方向に議論が発展している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
行列と作用素に対する対称反ノルムとミンコフスキー型の不等式の研究では，行列の場合の以前からの研究を纏めて，行列論の代表的な専門誌 Linear Algebra Appl.に発表した．フォン・ノイマン環に付随する可測作用素への拡張は当初の計画以上に発展し，既に論文が Publ. RIMS に掲載受理されている．
量子情報理論への応用的研究である量子情報路の縮小度数に関する研究では，ほぼ予定通りの成果を得られた．共著者の都合もあって最終的な論文には至っていないが，論文の草稿は既にできている．
自由エントロピーの研究の一環として行ったユニタリ行列をマイクロ状態とする軌道的な自由圧力関数とそのルジャンドル変換の研究でも，予想した通りの成果を上げることができ，数理物理分野で有名な専門誌 Comm. Math. Phys.に発表した．この研究は自由確率論における相互情報量である相互自由情報量の有力な理論の一つになると期待される．
他に当初の計画になかった研究として，リー-トロッター積公式を逆向きに補完する極限公式についての研究を始め，いくつかの興味深い結果が得られている．この研究は行列・作用素の研究に新趣向の問題を提起するものと期待される．
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| Strategy for Future Research Activity |
行列・作用素の不等式の研究の一環として，Liebと安藤が示したトレース関数の凹凸性を大幅に拡張するトレース関数の凹凸性を追求する．量子情報で有用なフィデリティや最近研究が進んでいる新しいタイプの量子レニィ相対エントロピーが目標のトレース関数に含まれるので，この問題は応用上も重要である．量子情報路の縮小度数の研究についても，やり残している問題があるので検討する．
フォン・ノイマン環の設定での対称反ノルムの研究を継続し，対称反ノルムの一般論を構築を目指す．当初の計画になかったリー-トロッター積公式のが逆向き極限公式の研究は，行列解析の新しい話題に発展する可能性が高いので，マジョリゼーション理論と関連させて引き続き研究を進める．
作用素論で重要な作用素単調・作用素凸関数の理論を高階の場合に拡張した作用素 k-調関数について以前に研究を行った．作用素値の多変数解析関数の理論が最近発展しているので，その観点から，高階フレシェ微分と作用素の解析関数カルキュラスを基礎に，作用素単調関数の新たな理論展開を検討してみたい．
研究の実施に当たっては，数学固有の問題として取り組むとともに，量子情報の問題への応用を目指す．研究協力者とは引き続き連絡を取りながら研究を進める．また，国内外の関係する研究集会・ワークショップに参加し，成果発表と情報交換を行う．
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