2016 Fiscal Year Research-status Report
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26400107
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
野邊 厚 千葉大学, 教育学部, 准教授 (80397728)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
間田 潤 日本大学, 生産工学部, 准教授 (80396853)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | トロピカル楕円曲線 / クラスター代数 / 離散戸田格子 / QRT系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はクラスター代数の変異と離散可積分系との対応関係およびトロピカル楕円曲面の自己同型群に関する研究を主に行った．A(1)1型Lie代数に付随するクラスター変数の変異を2次元離散力学系と見なすと，有理楕円曲面の加法群構造の定める双有理写像力学系（QRT系）として表現することができる．一方，代表的離散可積分系である離散戸田格子において，とくにA(1)1型とよばれるモデルを考えると，同様にQRT系となる．適当な双有理変換および適切な初期条件の設定により，これら二つのQRT系を直接的に関係づけることが可能であることを示し，A(1)1型クラスター代数の変異の幾何学的意味づけを行った．すなわち，A(1)1型クラスター代数の変異は種数1のコンパクトRiemann面（楕円曲線）上の加法の退化極限としての，種数0のコンパクトRiemann面（射影直線）上の双有理変換であることを示した．ここで，離散戸田格子の初期値が楕円曲線の退化極限に関するパラメータに相当する．本研究に関する論文を査読付き論文誌に投稿し受理・出版された．さらに，国際会議を含むいくつかの研究集会・学会において研究発表を行った．続けて，Hesseの3次曲線ペンシル上の線形自己同型群であるHessian群のトロピカル類似について考察した．Hessian群はHesseの3次曲線の変曲点（Hesseペンシルのbase point）の自己同型群と標数3の有限体上の2次特殊線形群との半直積として表されるが，トロピカル化によってペンシルのパラメータへの作用は退化し，トロピカルHesse曲線上の作用のみ生き残ることが示された．その結果，トロピカルHesseペンシルの線形自己同型群として3次二面体群を得た．本研究に関する論文を査読付き論文誌に投稿し受理・出版された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の研究計画では，C(1)N型Lie代数に付随する離散一般化戸田格子の超離散化を行い，そのスペクトル曲線のJacobi多様体上で時間発展を線形化し，超離散一般化戸田格子の性質を詳しく調べる予定であった．研究を進めていく過程において，クラスター代数もしくはクイバーの変異と離散可積分系との関係が明らかになってきたため，本年度は昨年度に引き続き離散戸田格子とクイバーの変異との関係についてより深く考察した．とくに，離散戸田格子と有理楕円曲面の加法群構造を用いて，A(1)1型クラスター代数の変異の幾何学的意味づけを得ることができた．クラスター代数は一般に正値性とLaurent性という特徴をもつため，クラスター代数の変異から得られる離散力学系は超離散化可能であり，その幾何学は自然にトロピカル幾何学に結びつく．本年度までの研究により，A(1)1型クラスター代数の変異とトロピカル代数曲線との結びつきが次第に明らかになってきた．これらを足がかりにして，一般化戸田格子，クラスター代数，トロピカル代数曲線の間の関係を深く追求していくことが可能となる．また，当初計画にあったC(1)N型Lie代数に付随する離散一般化戸田格子の超離散化についても研究を進めており，本年度はワークショップにおける研究発表等を行った．次年度には発表内容を論文にまとめ査読付論文誌に投稿する予定である．このような理由から本研究はおおむね順調に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
「研究実績の概要」で述べたように，A(1)1型Lie代数に付随する離散戸田格子との関係を通して，A(1)1型クラスター代数の変異は種数1のコンパクトRiemann面上の加法の退化極限としての，種数0のコンパクトRiemann面上の双有理変換であることを示すことができた．クラスター代数の正値性とLaurent性より，このような幾何学的枠組みは自然にトロピカル幾何学に持ち上がる．よって，今後はA(1)1型クラスター代数の変異から得られる超離散力学系の幾何学をトロピカル幾何学を用いて調べる予定である．また，大久保により与えられたA(1)1型離散戸田格子の時間発展と対応する（ただし，Lie代数とは直接関係づけられていない）クイバーの変異において，A(1)1型クイバーはその部分クイバーとして現れる．この事実と上記研究結果との対応関係を明らかにすることも視野に入れる．また，大久保のクイバーにおいて，A(1)1型以外にA(2)2型クイバーもその部分クイバーとして現れることが知られている．したがって，本研究の手法を用いてA(2)2型クラスター代数の変異の幾何学について調べることも可能であると期待される．今後はA(2)2型を含め，A(1)1型以外のLie代数に付随するクラスター代数の変異の幾何学についても考察していく予定である．また，本年度に行った予備的考察により，組合せ論的手法を用いて，AN型クラスター代数の変異の一般解を構成可能であることが明らかになってきた．今後はこのような研究も進めていきたい．次年度は研究計画の最終年度に当たるため，これまでの研究成果を論文にまとめ，査読付論文誌に投稿する．さらに，国際研究集会等で研究成果を積極的に発表する．
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| Causes of Carryover |
3月29日～31日にGeorgia大学（米国）で開催された国際会議（The Tenth IMACS International Conference on Nonlinear Evolution Equations and Wave Phenomena: Computation and Theory）参加のため，3月28日～4月3日に海外出張を行った．本来は本年度（平成28年度）が研究計画の最終年度であったが，上記出張が平成28年度と29年度にまたがったため，研究計画の延長を申請し受理された．また，昨年度，本年度は論文執筆等に注力し，研究発表が当初の予定に達しなかったため旅費の使用が滞った．このような理由から次年度使用額が生じた．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度は研究計画の最終年度に当たるため，これまでに得られた研究成果の発表に注力したい．そのため，これまでの研究成果をまとめた論文を執筆し査読付論文誌に投稿するための費用および研究発表のために研究集会・学会等に参加するための出張旅費としての使用を予定している．また，研究の効率化を図るため，研究成果の整理やwebページの作成を大学院生等に依頼する予定であり，そのための謝金としての使用を考えている．さらに，論文のオープンアクセスのための費用としての使用も想定している．
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