2014 Fiscal Year Research-status Report
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26400109
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
時弘 哲治 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (10163966)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 離散可積分系 / 戸田格子方程式 / 得意点閉じ込め / co-primeness / 代数的エントロピー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまでの研究で，離散パンルヴェ方程式の構成に用いられてきた可積分性の判定条件の一つである「特異値閉じ込め」を，初期値の有理関数として，有限の距離にあるすべての項が互いに素である性質（co-primeness）として定式化できることを示していた．今年度は，この co-primeness を，そのまま離散偏差分方程式系（離散ソリトン方程式）に拡張し，最も典型的な可積分方程式系である離散戸田方程式が，co-primeness を満たすか否か調べた．その結果，3種類の境界条件（半無限，ディリクレ，周期境界条件）に対して，各項の値の初期値依存性を求め，いずれの場合にも co-primeness 条件が成立することを示した．半無限の場合には，クラスター代数との関連から co-primeness は予測できるが，その他の2つの条件，特に周期境界条件の場合には，クラスター代数との直接の関係はなく，双線形形式でのローラン性を示したことと併せて，著しい結果であると考える．
次に，Hietarinta-Viallet 方程式を一般化した，一般化Hietarinta-Viallet方程式に対して，ブローアップを用いた初期値空間を構成することなく，その代数的エントロピーを厳密に計算した．この方程式は，2以上の整数によって分類されるが，偶数の場合は初期値空間の構成が可能であり，奇数の場合には不可能であると考えられている．しかしながら，いずれの場合においても，厳密に有理関数の次数の増大度を計算し，代数的エントロピーを求めることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
co-primenessが離散ソリトン方程式にいて成立することを，離散KdVおよび離散戸田方程式に対して示せただけでなく，一般化Hietarinta-Viallet 方程式という準可積分系と考えることのできる新しいクラス（co-primeness が満たされるクラス）を見出した．準可積分系とは，解の振る舞いがカオス的ななる場合があるにもかかわらず，初期値に関してよい振る舞いをする離散方程式のクラスである．これは，もともとの計画にはなかった新しい良い結果であると考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究の方針は，（１）co-primeness を準可積分性判定条件として用い，新しい準可積分系を見つけること，具体的には，Lie代数で特徴付けられる半離散戸田方程式系の完全離散方程式およびその一般化を考え，co-primeness 条件を満たす方程式系の探索を行う，（２）一般化Hietarinta-Viallet方程式系の代数的エントロピーを計算する際に用いた手法を一般化し，代数的エントロピーを求めるための一般的な手法を確立する，に沿って研究を進めてゆく予定である．
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