2015 Fiscal Year Research-status Report
非可換確率空間におけるフィッシャー情報量とエントロピーの変形に関する研究
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26400112
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| Research Institution | Ochanomizu University |
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Principal Investigator |
吉田 裕亮 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 教授 (10220667)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 関数解析学 / 作用素環論 / 非可換確率論 / エントロピー / 量子変形 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２７年度においては、研究計画通り、非可換確率論における独立性と Fisher 情報量ならびにエントロピーの関係についての基本関係式である de Bruijn 等式の調査研究を更に深化させた。de Bruijn 等式とは、確率過程の言葉では、単純な熱拡散による時間発展を考えるときエントロピーの時間微分が Fisher 情報量のマイナス量で与えられることであるが、本研究では、これを一般化し、ある凸関数をポテンシャルとするドリフト項を持つ拡散過程による時間発展を考え、その平衡測度 (Gibbs 測度) を reference 測度とする場合に拡張に関して研究を行った。
古典系における本拡張はエントロピー・ギャップを特殊な場合として含む、相対 Fisher 情報量による相対エントロピーの積分表示を与えることは事前の調査で分かっていた。これを非可換確率論の範疇にある自由確率論で、自由独立性に基づく拡散過程における自由相対エントロピーの時間微分と自由相対 Fisher 情報量との関係に拡張した。
さらに自由確率論と古典確率論を補間するｑ－変形非可換確率空間での研究に向けての調査研究も始めた。特に Fisher 情報量のｑ－変形のために、ｑ-変形 Fock 空間上で ｑ-生成・消滅作用素を用いて構成されるｑ-変形分布を持つ非可換確率変数の Voiculescu の conjugate variables の具体例として ｑ－Gauss 分布の場合を扱った。
また、平成２７年度は非可換確率空間のモデルとして非常に重要なランダム行列モデルに関しても研究を行ない、特に対角成分の Gauss 摂動が行われた Wigner 型ランダム行列の漸近的平均スペクトルのゆらぎに関しての調査を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
平成２７年度までにおいては、研究計画通り、古典系においてエントロピー・ギャップを特殊な場合として含む、相対 Fisher 情報量による相対エントロピーの積分表示を与える関係式を自由独立性に基づく拡散過程における自由相対エントロピーの時間微分と自由相対 Fisher 情報量との関係に拡張した。また、ｑ－変形非可換確率空間での研究に向けてｑ-変形分布を持つ非可換確率変数 conjugate variables の具体例として ｑ－Gauss 分布の場合についての調査研究に着手した。
さらにランダム行列モデルについて、対角成分の Gauss 摂動が行われた Wigner 型ランダム行列の漸近的平均スペクトルのゆらぎに関して、高次のモーメントゆらぎを特徴付ける共分散行列を厳密に求めることに成功し、現在、平成２８年夏の国際研究集会での発表の準備を行っている。
以上より、研究内容の進捗状況は当初計画以上にあると判断している。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の推進方策に関しては、当初計画通りであり、現在のところ、特に、研究計画を変更すべき事由ならびに研究推進の障害となる課題は発生していない。従って平成２８年度には、まず、変形 Fisher 情報量として、自由独立性による自由 Fisher 情報量と通常の独立性に基づく Fisher 情報量を補間を与えるｑ－Fisher 情報量に関する調査研究を、さらに発展させる計画である。
当該のｑー変形は ｑ－変形 Fock 空間に基づくものであり、ｑ－Gauss分布やｑ－Poisson分布、さらにこれらを含むｑ－Mexiner 分布族など重要な分布族のｑ－生成・消滅作用素を用いた非可換確率変数の構成は既に知られている。通常の確率論において Meixner 分布族は Fisher 情報量から見ても特徴的な分布族であり、それらの幾つかの分布の特徴付けも知られていることからｑ－Meixner 分布の特徴付けと両立するようなｑ－Fisher 情報量ならびにｑ－エントロピーの構成についての研究へと発展させていく計画である。
また、平成２８年度７月末には、ポーランド科学アカデミー主催の国際研究集会が開催の予定であり、同研究集会において成果発表を行うと共に世界の第一線で活躍中の外国人研究者と直接に研究討議を行う予定にしている。
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| Causes of Carryover |
平成２７年１１月に、本研究課題と密接に関連する国際研究集会が、平成２８年度７月にポーランド科学アカデミーの主催で開催されるとの情報があった。これにより同国際研究集会ならびに関連会議の出席に必要な旅費を確保のため、平成２７年度の使用額を抑制し、外国旅費分を後ろ倒して備えることにした。また、同国際会議においては Science committee への就任依頼もあった。これは本研究課題における成果が国際的にも着目されてきていることを意味するものであり、同研究集会への参加出席は、本研究の推進上で重要であると考えられる。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成２８年度の当初使用計画通りの助成金の使用に加えて、上記、理由の通り、平成２８年度７月にポーランドで開催される国際研究集会に出席ならびに関連した研究打ち合わせのための外国旅費として、使用する計画である。
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Research Products
(3 results)
