2016 Fiscal Year Research-status Report
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26400113
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
山上 滋 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (90175654)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | quantum probability / trace formula |
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| Outline of Annual Research Achievements |
無限自由度系の場合、量子状態は様々な相の存在を反映して非同値なものが数多く出現する。その違いを数学的に記述する道具立てとして、作用素環における量子確率の理論がある。本年度は、その基礎に関わる Haagerup の跡公式について、非可換積分の立場からその成り立つ仕組みについて解明を試みた。
Haagerup の公式自体は、ある特殊な非有界作用素のスペクトル射影の跡値を与えるものではあるが、非可換積分論全体の礎石をなす重要なものである。従来はその成り立つ理由が、巧妙な式操作の影に隠れて十分把握されたとは言いがたい状況であった。その一つの理由として、竹崎双対上の標準跡の構成自体が非可換積分論の成果の上に築かれているという、相互依存の状況がある。
今回、この標準跡の構成を、複素補間法とフーリエ解析の手法を駆使することで、古典的なヒルベルト代数の理論に還元することに成功した。この複素補間の構造を利用して、パラメータ空間における、境界作用素、境界ベクトル、さらにresidue 作用素の３要素を導入し、これらの適切な組合せが跡公式の成立する理由であることを示した。このうち、residue 作用素の果たす役割については、虚パラメータ内における量子状態の特異性を記述するものと期待され、今後の研究の対象となり得るが、これが零に一致する場合が既に相当の一般性を有するものであり、その応用として、跡公式が、Haagerup の扱った場合も含めて広く成り立つものであることが明らかとなった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初からの課題を解決する上で重要な部分を占める跡公式を解明したことで、
目標にまた一歩近づくことができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
coherent 状態についての総合報告を完成させること。
併せて、量子対称性が量子状態の空間に反映される様子を記述することを試みたい。
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