2015 Fiscal Year Research-status Report

作用素平均とその関連分野の研究

Research Project

Project/Area Number	26400120
Research Institution	Kyushu University
Principal Investigator	幸崎秀樹九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (20186612)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	綿谷安男九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (00175077)
Project Period (FY)	2014-04-01 – 2018-03-31
Keywords	作用素平均 / ノルム不等式 / 正定値関数 / Heinz不等式
Outline of Annual Research Achievements	東北大学日合文雄氏(現名誉教授)と研究代表者は以前共同研究を行い、作用素平均とそのノルム比較に関する一般論を構築した。この理論では、各種平均の比から自然に決まる関数の正定値性の判定が極めて重要である。その判定の為の常套手段はBochnerの定理である。つまり、Fourier変換を計算し、その正値性を判定すれば良い。 Heinzノルム不等式は作用素平均の理論の出発点となった重要な不等式の一つであるが、今年度はこの不等式のパラメータを含んだ一般化についての研究を行い、論文として発表した。一般化された不等式が成立する為のパラメータの範囲の完全決定に成功した。この問題ではパラメータの入った双曲線関数のある種の比の正定値性の判定が必要となるが、複素関数論的な考察及び複素変数のガンマ関数に関する基本性質を利用した議論に基づいて、これを実行した。この正定値性に関する判定結果は、作用素平均の理論のみならず、多岐にわたる方面への応用も可能かもしれない。一方、分担者の綿谷氏はquiverの表現に関する研究を更に発展させ、論文として発表した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 作用素平均及びそのノルム不等式関係の研究では、関係して現れる関数比の正定値性の判定が重要であるが、そのような研究が着実に蓄積されているという点では、満足がいく。一方、本研究のもう一つの研究テーマである非有界作用素の並列和とその関連研究に関しては少々遅れ気味である。しかし、その概要は完成しており、現在論文を準備中であるので、総合的な判断として、「(2) おおむね順調に進展している」とした。
Strategy for Future Research Activity	1. 非有界作用素に対する並列和の理論を整備することが本研究の実行のために必要不可欠である。概要はほぼ完成しているので細部をチェックしてまず論文の形に纏める事が最重要であり、今年度まずやるべきことと考えている。 2. 作用素平均関連の研究を更に進展させる為に、平均の比として現れる各種関数の正定値性に関する判定結果が重要である。今までこの方面の多くの研究を行ってきたが、更なる結果の蓄積を行うべき努力する。 3. 今まで得られた作用素平均に関する結果の量子情報理論への応用の可能性を探る。
Causes of Carryover	12月に足を骨折し、1-3月に予定していた出張が不可能になってしまった。
Expenditure Plan for Carryover Budget	次年度は時間的余裕が増えるものと期待される。従って、研究討論の為の出張・招聘を増やし、旅費を当初の予定より大目に使用する予定である。