2015 Fiscal Year Research-status Report
可積分離散非線型シュレーディンガー方程式の漸近解析
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26400127
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| Research Institution | Kwansei Gakuin University |
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Principal Investigator |
山根 英司 関西学院大学, 理工学部, 教授 (80286145)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 離散非線形シュレーディンガー方程式 / ソリトン / 漸近展開 / 非線形鞍点法 / リーマン･ヒルベルト問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
可積分な離散非線形シュレーディンガー方程式のうちfocusingなもの，すなわち非線形項の符号がプラスのものについて考察した．まず無反射な場合については多重ソリトン解が先行研究によって知られている. われわれは反射がある場合（反射係数が恒等的には０でない場合）について，時間無限大における解の漸近挙動を調べた. 解は1-ソリトンの和プラス小さい摂動となる．これらの1-ソリトンについては無反射な場合においても phase shift (位相のずれ)が生じるが，反射のある場合にももちろん phase shift が生じる. ただし，|n|が2t 以上のところでは無反射の場合と同じだけのphase shift が生じるが，|n|が2tより小さいところではphase shift の公式は無反射の場合とは異なるものになり，反射係数の影響が現れる. 証明にはリーマン･ヒルベルト問題と Deift-Zhou の非線形鞍点法を用いる. リーマン･ヒルベルト問題の未知関数が極を持つので，オリジナルな非線形鞍点法に加えて新たな技巧が必要となる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
予想通りに解の漸近展開の主要項は1-ソリトンの和であることが証明できた．特に，|n|<2t の領域と|n|>=2t の領域とでphase shift の公式が異なることが分かった．前者のみ反射係数の影響が現れ，後者には現れないことが興味深い．後者においては無反射の場合に関する Ablowitz らの既知の結果を recover する．無反射の場合においてすら従来の「証明」は形式的なものに過ぎず，Riemann-Hilbert 問題による厳密な証明は本研究で初めて出来たものである．それだけでも本研究は価値がある．
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| Strategy for Future Research Activity |
現状では，「もし散乱データがこうだったら」という議論をしており，そういう散乱データをもつポテンシャルが本当にあるのか，あるとしてたくさんあるのかを議論していない．自然な仮定だというのが研究者たちの共通認識だとは思うが，自然さをきちんと定式化し，証明した結果はまだない．その部分の研究を仕上げて説得力を増したい．すなわち，ダルブー変換をうまく定式化して，自由に極を増やしたり減らしたり（ソリトンを増やしたり減らしたり）できることを示したい.
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| Causes of Carryover |
残額が約24000円で中途半端な額だったので，次年度に回した.
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
旅費または図書購入費として利用する.
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