2016 Fiscal Year Research-status Report
可積分離散非線型シュレーディンガー方程式の漸近解析
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26400127
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| Research Institution | Kwansei Gakuin University |
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Principal Investigator |
山根 英司 関西学院大学, 理工学部, 教授 (80286145)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 可積分系 / 非線形シュレーディンガー方程式 / 漸近展開 / ソリトン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
可積分な離散非線形シュレーディンガー方程式について，時間無限大の漸近展開を研究している．特にここ数年はソリトンがある場合を調べている．解は時間無限大で有限個のソリトンに分かれることを証明し，また，追い越しによって生じるフェイズシフトを求めた．特に興味深いのは，ソリトンの速度によってフェイズシフトの公式が異なり，反射係数の影響を受ける場合と受けない場合があることである．これは連続変数に関する非線形シュレーディンガー方程式にはない性質である．
上で述べたことを証明するにあたって，初期値，特にそれが定める散乱データについていくつかの自然な事柄を仮定している．ここで問題になるのは，それらはわざわざ仮定しなければならないものなのか，もしかしたら仮定するまでもなくいつでも必ず成り立っていることなのではないかということである．このことは投稿論文の査読者にも指摘された．そこで，いつでも成り立つわけでないことを示すために，反例を構成した．
いくつもの反例を構成したが，基本的な考え方はすべて同じである．すなわち，台が有限個の点からなるポテンシャルについて，それに対応する固有関数を具体的な式で書き下せば，散乱データを閉じた式で記述することが出来る．
今回は当面の目的に必要な反例を作っただけなので手計算で出来るような計算しかしていないが，上記の方針に従う計算はコンピュータに行わせることも出来る．そうすれば，いくらでも複雑な例を作ることが出来て，新たな現象を見出す手がかりが得られるだろう．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
具体例の構成が予想より順調に進んだから．
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| Strategy for Future Research Activity |
ダルブー変換を定式化して多重ソリトンについてさらに深く理解する．証明済の結果において課した仮定が自然であることを示す．
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