2017 Fiscal Year Research-status Report
可積分離散非線型シュレーディンガー方程式の漸近解析
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26400127
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| Research Institution | Kwansei Gakuin University |
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Principal Investigator |
山根 英司 関西学院大学, 理工学部, 教授 (80286145)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 可積分系 / ソリトン / 逆散乱法 / リーマン・ヒルベルト問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
可積分離散非線形シュレーディンガー方程式について逆散乱法および非線形最急降下法で調べるには，リーマン・ヒルベルト問題を用いる．ここで，経路としては単位円，あるいは単位円と複数の単純閉曲線の和集合を考える．ポテンシャルが与えられたとき，そのポテンシャルに対応する散乱データを用いてリーマン・ヒルベルト問題を定式化するというのが順問題である．この場合は，ポテンシャルからヨスト関数を作り，そのヨスト関数が満たすリーマン・ヒルベルト問題を導くのであるから，リーマン・ヒルベルト問題の解が存在することは自明である．実際，ヨスト関数が解を与える．逆に，リーマン・ヒルベルト問題を最初に与えるとき，それが解を持つかどうかは自明ではない．可積分離散非線形シュレーディンガー方程式から導かれるリーマン・ヒルベルト問題には隠れた対称性があり，これと同様の対称性を持つリーマン・ヒルベルト問題であれば，解の存在が証明できると考えられる．この証明はおおむね出来ており，今は細かいところを詰めながら論文にまとめようとしているところである．長期的な目標としては，散乱データを最初に与えて，それに対応するポテンシャルが一意に存在することを示したい．すなわち，散乱変換をS,逆散乱変換をTとするとき，TSが恒等写像であることを示したい．STが恒等写像であることは既に知られている．実をいうと，多くの可積分系についてきちんと証明されているのはSTが恒等写像であることだけであり，TSが恒等写像であることの証明は後回しにされている．定式化に困難が伴うが，これをきちんと議論することは重要だと考える．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
連続な非線形シュレーディンガー方程式の場合は実軸に関する対称性をもつリーマン・ヒルベルト問題を考察することになる．可積分離散非線形シュレーディンガー方程式の場合は単位円に関する鏡映について対称なリーマン・ヒルベルト問題が関係するだろうと考えたところ，その予想が正しかった．この対称性はあらわなものではないが，未知関数の変換によって，対称な形に直すことが出来た．
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| Strategy for Future Research Activity |
まだ対称性が不十分で逆散乱変換に関する計算がうまく行かないところがある．その困難を回避するためにはMillerやFokasらが使っている形のラックス形式を使えばいいのではないかと考えている．
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