2017 Fiscal Year Annual Research Report
Researches on holomorphic mapings of Riemann surfaces---existence of mappings and conformal invariants
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26400140
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
増本 誠 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (50173761)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
柴 雅和 広島大学, 工学研究科, 名誉教授 (70025469)
山田 陽 東京学芸大学, 教育学部, 名誉教授 (60126331)
柳原 宏 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (30200538)
中村 豪 愛知工業大学, 工学部, 教授 (50319208)
郷間 知巳 山口大学, 大学院創成科学研究科, 助手 (70253135)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | リーマン面 / 正則写像 / 等角写像 / 穴あきトーラス / 極値的長さ / 双曲的長さ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
穴あきトーラスのタイヒミュラー空間をＴとする。Ｔの元は把手を指定した穴あきトーラスである。把手を指定したリーマン面Ｙが与えられたとき，Ｔの元のうち，Ｙへの正則写像が存在するもの全体をＴ[Ｙ]と表す。集合Ｔ[Ｙ]の幾何学的性質を調べる研究を進めた。
先の研究で，Ｔ[Ｙ]はＴの閉領域でその境界はリプシッツであることを示した。我々は，新たに，ほとんどのＹに対してＴ[Ｙ]の境界は滑らかでないことを見出した。従って，境界の滑らかさに関し，先に得られた結果はある意味で最善であったのである。
Ｔの任意の元は，把手を指定したトーラスから水平線分を除いて得られる穴あきトーラスとして実現され，この事実は，Ｔから上半平面Ｈと半開区間[0,1)の直積集合の上への同相写像を与える。この同相写像によるＴ[Ｙ]の像をＨに射影すると，その像は実軸に平行な帯状領域になることを，我々は，先の研究において示していた。この度，新たに，この帯状領域を，Ｙで定めた把手を決める単純閉曲線の双曲的長さで具体的に記述することに成功した。
さて，よく知られているように，正則写像による曲線の像の双曲的長さは，元の曲線の双曲的長さを上回らない。従って，Ｔ[Ｙ]に属する元Ｘの双曲的閉測地線の長さは，対応するＹの双曲的閉測地線の長さを上回らない。とくに，このようにＹの双曲的閉測地線の長さで規定されるＴの部分集合にＴ[Ｙ]は含まれるが，両者は一致しないことがブルクの最近の研究により分かっている。我々は両者の差が平面から１点を除いた集合と半開区間[0.1)の直積集合と同相であることを示し，ブルクの定理を精密化することに成功した。
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