2018 Fiscal Year Annual Research Report
Stochastic analysis for coagulation-fragmentation processes
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26400142
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| Research Institution | Saga University |
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Principal Investigator |
半田 賢司 佐賀大学, 理工学部, 教授 (10238214)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 凝結 / 分裂 / 相関関数 / 可逆分布 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一般化split-merge過程についての議論を最終的には次の意味で2段階に拡張されたモデルにより定式化し，研究を収束させるに至った．（１）coagulationレートKとfragmentationレートFについて斉次性を課す．ただし，斉次性の指数はそれぞれλ+2, λ+1（ただし．λは非負．）とし，どちらのレートも非負で，恒等的に0ではないものとする．（２）状態空間として，全クラスターサイズに「有限かつ正」という条件のみを課した空間を考える．このモデルは一般化split-merge過程からの適当なスケール変換と時間変更により構成される．
可逆性についての主結果は，レートK, Fと分布に付随する相関関数・Palm分布族との間に成り立つ関係式により述べられ，いわゆる詳細調合条件の対応物とみなされる自然な条件が導かれた．さらに，この条件を満たす具体的な場合として，Poisson-Dirichlet分布のある種の変形を可逆分布として持つような，一般化split-merge過程の一種が見つかった．
必ずしも可逆性を課さない一般の状況での主結果は２つである．一つは，非定常な相関測度系の満たす微分積分方程式系の導出である．これはいわゆるBBGKY階層の類似と言える．もう一つは，初期分布族とレートに関する適切な仮定の下での，スケール極限による凝結分裂方程式の導出である．数学的には大数の法則のレベルの結果であるが，まだ極限方程式の解の一意性が不明であるため，解の存在のみが確率論的に証明された段階である．それでもこれまで知られていた結果との比較では，存在定理だけでもかなり拡張された結果であると考えられる．
このような結果については，論文原稿をarXiv(arXiv:1808.10674)および学術論文雑誌に投稿済みである他，複数の国際研究集会と他大学におけるセミナーにおいて講演発表がなされた．
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