2015 Fiscal Year Research-status Report
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26400143
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
金 大弘 熊本大学, 自然科学研究科, 教授 (50336202)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
桑江 一洋 福岡大学, 理学部, 教授 (80243814)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | Feynman-Kac functionals / gaugeability / heat kernel / stability / Markov process / Green-tight Kato class |
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| Outline of Annual Research Achievements |
必ずしも有界変動ではない非局所型ファインマン・カッツ汎関数の重みをもつ対称マルコフ過程に関する大域的性質とその応用に対して、以下のような問題をディリクレ形式論やポテンシャル論といった関数解析学的取り組みを通じて明らかに究明した。
(1) 一般の対称マルコフ過程の枠組みで、必ずしも有界変動ではない非局所型ファインマン・カッツ半群の熱核に対する安定性の解析学特徴付け。(2) 一般化されたファインマン・カッツ汎関数の可積分性に関する解析的特徴付けの精密化。
(1) については、熱核における既存のLi-Yau型評価や飛躍型評価に対して、必ずしも有界変動ではない非局所型ファインマン・カッツ汎関数の重みを持たした半群の熱核に対する安定性の解析学特徴付けに関する結果である。ポテンシャル項における既存の条件などを既存の結果よりはるかに一般化したもので、熱核の安定性に関する研究分野において大変重要な意味をもつ（研究成果は投稿済み）。(2) については、本研究課題の研究成果として一昨年に得られた一般化された非局所型ファインマン・カッツ汎関数の可積分性に関する解析的特徴付けの結果（Transactions of the American Mathematical Societyにて出版予定）の更なる精密化を行った研究である。この精密化の成果は、上述した(1)での研究に重要な役割をした（研究成果は投稿済み）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の主な研究方向は、一般の対称マルコフ過程の枠組みで、必ずしも有界変動ではない非局所型ファインマン・カッツ半群の熱核に対する安定性の解析学特徴付け問題と一般化ギルサノフ変換で誘導される確率測度の絶対連続性と相対エントロピーとの関連性問題への取り組みであった。しかし、一般の対称マルコフ過程の枠組みでのファインマン・カッツ半群の熱核に対する安定性問題をより良い結果として導くためには、ファインマン・カッツ汎関数における可積分性の更なる精密化を行うことの重大さに気づき、その問題の解決を先に実施し、研究成果としてまとめた。分担者との議論を通じて得られた結果は大変満足のいくものであり、その結果の波及効果はファインマン・カッツ半群の熱核に対する安定性問題への応用だけにとどまらず、その他の関連問題へ幅広く適用できると思う。また、一般化ギルサノフ変換で誘導される確率測度の絶対連続性と相対エントロピーとの関連性の研究結果はまだ専門雑誌に投稿できる段階までは至っていないが一定の進展された成果を得ている。以上の理由で、本年度の研究目的における達成度はおおむね順調に進んでいると評価できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今まで得た研究成果を踏まえて、必ずしも有界変動ではない非局所型ファインマン・カッツ汎関数の重みをもつ対称マルコフ過程に関する以下のような問題を明らかに究明したいと考えている：
(1) 必ずしも有界変動ではない非局所型ファインマン・カッツ半群の独立性とその一般化。
(2) 一般化ギルサノフ変換で誘導される確率測度の絶対連続性と相対エントロピーとの関係。
(3) 時間非同次マルコフ過程における熱核評価の安定性問題。
これらの問題については既に一部分新しい結果を得ている。
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