2015 Fiscal Year Research-status Report
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26400145
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| Research Institution | Gakushuin University |
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Principal Investigator |
中野 史彦 学習院大学, 理学部, 教授 (10291246)
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2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | １次元ランダムシュレーディンガー作用素 / 準位統計 / ポアソン過程 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に引き続き、１次元シュレディンガー作用素で、遠方で空間座標の(-α)乗で減衰するランダムポテンシャルを持つものを考えた。このモデルはα=1/2を境にしてスペクトルの性質が変化することが知られており、現在も活発に研究されている。今年度は次の結果を得た。
(1) 準位統計問題を考えた（小谷眞一氏との共同研究）。これはシュレーディンガー作用素を有限体積に制限して得られる作用素の固有値をスケーリングした点をアトムに持つ点過程の無限体積極限を考えるものであり、αが1/2より大きいときにはクロック過程、αが1/2に等しいときにはSine β過程に収束することが前年度迄の研究によりわかっていたが、今年度はαが1/2より小さいときにポアソン過程に収束することを示した。連続モデルを考えているので、従来よく使われる南就将氏による方法が使えないのが難点であったが、Allez-Dumazによるdiffusion theoryを用いた解析によりこれを克服できた。
(2) Alloy type model での準位統計（V. Chulaevsky氏との共同研究）。(1)とは異なる連続モデルで、より一般のランダムポテンシャルで相関が指数減衰するものを考え、αが1/2より大きいときに準位統計がクロック過程に収束することを示した。相関が指数減衰するような確率過程においてマルチンゲール不等式の拡張を証明することがカギとなった。Burkholder-Davies-Gundy不等式の拡張を示すことができればより強力な結果が得られるのだが、これは証明できなかった。
(3) 一般のαにおいて、積算状態密度のゆらぎを求めた。 スペクトルの性質の転移に応じてゆらぎの性質もα=1/2を境に大きく変化することがわかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
（１）最大の懸案であった、αが1/2より小さい場合のポアソン過程への収束が示せたこと。
（２）当初予定していた研究課題にはないが、指数減衰する相関を持つ確率過程を考えてもクロック過程への収束が示せたこと
（３）当初予定していた研究課題にはないが、積算状態密度のゆらぎを計算するという派生的な問題についても進展が見られたこと
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）Burkholder-Davies-Gundy不等式の拡張を示し、クロック過程への収束についてより強力な知見を得る。
（２）ベータアンサンブルを固有値分布に持つランダムなジャコビ行列について、ベータを０に近づけるのと同時に体積無限大の極限をとった場合の準位統計がポアソン過程に近づくことを示す。
（３）スペクトル下限近傍における準位統計問題を考える。
（４）ランダムポテンシャル及び定電場を持つ１次元シュレーディンガー作用素の準位統計を考える。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由は３月１６日から１９日にかけての筑波大学への出張の際に生じた。当初１９日まで主張する予定であったのが、勤務校で早急に対応すべき事態が発生したために出張を１日短縮することになったのが原因である。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
当該使用額は、次年度において、出張旅費に使用する
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Research Products
(16 results)
