2017 Fiscal Year Research-status Report
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26400145
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| Research Institution | Gakushuin University |
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Principal Investigator |
中野 史彦 学習院大学, 理学部, 教授 (10291246)
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2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | ランダムシュレーディンガー作用素 / ガウシアンベータアンサンブル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
（１）ガウシアンベータアンサンブルの準位統計（Kahn Duy Trinh 氏との共同研究）
サインベータ過程について、ベータが０に近づいたときにポアソン過程に収束することは、Allez-Dumazによって示されている。そこで、有限サイズのガウシアンベータアンサンブルにおいて、システムサイズ n と逆温度βが n β が一定という条件を満たしながらシステムサイズを無限大にしたときに、対応する固有値をスケーリングしたものがポアソン過程に収束することを示した。また、その強度についてリアプノフ指数との関係を調べ、新しい関係式を見出した。これまでの類似の問題とは異なり、平行移動不変性が成り立たないので、ポアソン過程の強度を具体的に求めることに困難さがある。ここでは、ベータアンサンブルの確率分布の滑らかさを具体的に利用することにより、この問題を克服した。
（２）固有関数の漸近形
サイズLのランダムポテンシャルを持つ１次元シュレーディンガー作用素で、そのカップリング定数がLのー１／２乗に比例して減衰するものを考えた。これはクリティカルモデルと呼ばれ、局在系と非局在系への転移を記述することが期待されている。固有値の準位統計問題は研究代表者により解決済み。そこで、各々の固有値に対応する、規格化された、粒子の存在確率密度を表す測度のスケール極限を考え、それが2 - sided Brownian motion を指数に持つマルチンゲールを用いて表されることを示した。離散モデルについてはRifkind-Virag による最近の結果があり、それを連続モデルに拡張したものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の目的は
（１）減衰するポテンシャル、または減衰カップリング定数を持つ１次元シュレーディンガー作用素について、そのバルクでの準位統計を調べる
（２）同じ作用素において、エッジでの準位統計を調べる
（３）関連する問題について考える
ことであった。
このうち、（１）については解決済み。（３）については、ガウシアンΒアンサンブルについての結果を得ている。
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| Strategy for Future Research Activity |
次の問題について考える。
（１）２０１７年度の研究（２）固有関数の漸近形をさらに推し進める
（２）２０１７年度の研究（１）ガウシアンベータアンサンブルの準位統計について、さらにn \beta = 定数 ではない場合についても調べる
（３）エッジでの準位統計を調べる
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| Causes of Carryover |
（１）当該年度は勤務校において学科主任を務めたために研究活動へのエフォトが減少したため
（２）招聘した外国人研究者が実際に使用した旅費が当初の想定金額を下回ったため
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