2014 Fiscal Year Research-status Report
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26400151
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
小森 洋平 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70264794)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 国際研究者交流 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
タイヒミュラー空間T(S)は曲面S上の複素構造の変型空間であるが、典型的な複素構造の変型の方法として擬等角写像による変型がある。実際、擬等角写像を用いてT(S)上のタイヒミュラー距離や複素構造が定義される。そのような擬等角変型のうち特に深く研究されている方法が、次のような平坦構造による変型である。JをSの複素構造とし、qをリーマン面(S,J)上の2次微分とする。qの平方根をS上で複素積分することにより、S上の複素座標ζが得られる(自然座標)。このζにSL(2, R)の元を合成することで複素構造が変型できる。これが平坦構造(J, q)による変型である。これにより定まるSL(2, R)からT(S)への写像は上半平面H2 = SL(2, R)/SO(2)からT(S)への正 則写像f : H2 → T(S)を誘導する。この像f(H2)をタイヒミュラー円板と呼ぶ。このタイヒミュラー円板を保つタイヒミュラー・モジュラー部分群 Stab(f(H2))からPSL(2,R)へ自然な準同型DAf : Stab(f(H2)) → PSL(2,R)が定まり、特に擬アノソフ写像の拡大率は、対応する双曲型のメビウス変 換の拡大率に一致する。逆に任意の擬アノソフ写像に対し、それが保つタイヒミュラー円板 がただ1つ存在することもベアスにより示されている。このように擬アノソフ写像というタイヒミュ ラー・モジュラー変換の研究には、タイヒミュラー円板つまり平坦構造が不可欠な道具になっている。
今年度はタイヒミュラー円板を保つタイヒミュラー・モジュラー部分群と幾何学的コクセター群との類似の観点から、双曲コクセター群の増大度の数論的性質、および擬アノソフ写像をモノドロミー変換として実現するためのリーマン面の退化族の具体的構成について考察した。次年度以降これらの問題について考察を続けて行きたい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
申請時の研究目標の3本柱として、「幾何学的コクセター群との類似」、「擬アノソフ写像の拡大率の数論的性質」、「Eh10 に関するタイヒミュラー円板、および擬アノソフ写像の性質」の3つを掲げていた。
今年度はタイヒミュラー円板を保つタイヒミュラー・モジュラー部分群と幾何学的コクセター群との類似の観点から、双曲コクセター群の増大度の数論的性質、具体的には４元および５元生成の双曲コクセター群の増大度がペロン数になることを証明した。さらに大学院生の雪田友成君との共同研究で、６元生成までの理想双曲コクセター群の分類を、平面ユークリッド幾何を用いて初等的に示すことができた。今後はこれら幾何学的コクセター群の結果の類似をタイヒミュラーモジュラー群で考察することが問題となる。
また擬アノソフ写像をモノドロミー変換として実現するためのリーマン面の退化族の具体的構成を行った。一般ファイバーが種数と同じ位数の巡回群を自己同型群に持つため、特殊なリーマン面の退化族ではあるが、構成に楕円関数を用いるなど具体的な計算に適しているため、局所モノドロミーのデータから大域的モノドロミーが計算できると期待される。またその歪曲度も具体的に求まるか、数論的性質または評価が得られると期待される。
その一方もう1つの研究課題である「Eh10 に関するタイヒミュラー円板、および擬アノソフ写像の性質」については研究が進まなかった。次年度以降では、平坦曲面の周期点の個数評価の研究を活発に行っている四ノ宮佳彦准教授(静岡大)と議論を重ねることで、Eh10 に関するタイヒミュラー円板から定まるヴィーチ群の研究や擬アノソフ写像の歪曲度の評価の研究を行いたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究で進展のあった「幾何学的コクセター群との類似」については、双曲コクセター群の増大度の数論的性質、具体的には４元および５元生成の双曲コクセター群の増大度がペロン数になることを証明したので、さらに６元生成の双曲コクセター群の増大度がペロン数になることについて考察する。また大学院生の雪田友成君との共同研究で、６元生成までの理想双曲コクセター群の分類を、平面ユークリッド幾何を用いて初等的に示すことができた。この結果を応用して、現在雪田君との共同研究として理想双曲コクセター群の増大度がペロン数になること、また増大度を面の数で上下から評価する研究を行っている。今後はこれら幾何学的コクセター群の結果の類似をタイヒミュラーモジュラー群で考察することが問題となる。「擬アノソフ写像の拡大率の数論的性質」については、今年度構成したリーマン面の退化族を用いて、大域的モノドロミーとして具体的な表示が得られると期待される擬アノソフ写像の拡大率の数論的性質を考察する。まずは一般ファイバーが種数２の退化族の場合に局所モノドロミーから大域的モノドロミーを考察する。「Eh10 に関するタイヒミュラー円板、および擬アノソフ写像の性質」については、平坦曲面の周期点の個数評価の研究を活発に行っている四ノ宮佳彦准教授(静岡大)と議論を重ねることで、Eh10 に関するタイヒミュラー円板から定まるヴィーチ群の研究や擬アノソフ写像の歪曲度の評価の研究を行う。
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