2016 Fiscal Year Research-status Report
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26400151
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
小森 洋平 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70264794)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 複素解析幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
タイヒミュラー・モジュラー部分群と幾何学的コクセター群との類似の観点から、コクセター系から擬アノソフ写像を構成し、その拡大率を調べた。具体的にはアファインコクセター系 A_{k-1} の頂点の１つに辺を付け加えたコクセター系を Ah_{k} とするとき、k が奇数ならば Ah_{k} のコクセターグラフは双曲的かつ結晶的な２部グラフになるので、マクマレンの結果より２部コクセター元のスペクトル半径はサラム数になる。今回の研究では、k が偶数の時に Ah_{k} のコクセターグラフの２重被覆をとったグラフに対応するコクセター系が、 k が８以下なら双曲的で、k が１０以上なら高階数というクラスになることを示した。今回の結果の応用として拡大率が２サラム数になる擬アノソフ写像が構成できた。具体的には以下のサーストンの構成を用いる。種数が２以上のコンパクトで向き付け可能な曲面上の２組の多重単純閉曲線族AとBを考える。それらの各成分である単純閉曲線を頂点とし、交わる場合にのみ交点数の数だけの線分で頂点どうしを結ぶことにより２部グラフができる。このグラフから二次形式が得られ、その二次形式を保つような鏡映群が定義される。このときデーン・ツイストの積ABからなる擬アノソフ写像の拡大率が、対応するコクセター群の２部コクセター元のスペクトル半径に一致することをレイニンガーは示した。そこで今回の Ah_{10} の２重被覆をとった２部グラフに対応する単純閉曲線を種数１０の閉曲面に描き、互いの交わらない１０個の単純閉曲線の族AとBの積のデーン・ツイストの積ABからなる擬アノソフ写像の拡大率を考えると２サラム数になることが分かった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
申請時の研究目標の3本柱として、「幾何学的コクセター群との類似」、「擬アノソフ写像の拡大率の数論的性質」、「Eh10 に関するタイヒミュラー円板、および擬アノソフ写像の性質」の3つを掲げていた。今年度はタイヒミュラー円板を保つタイヒミュラー・モジュラー部分群と幾何学的コクセター群との類似の観点から、マクマレンによる双曲コクセター
系Ah_{k}に着目した。アファインコクセター系 A_{k-1} の頂点の１つに辺を付け加えたコクセター系を Ah_{k} とするとき、k が奇数ならば Ah_{k} のコクセターグラフは双曲的かつ結晶的な２部グラフになるので、マクマレンの結果より２部コクセター元のスペクトル半径はサラム数になる。今回の研究では、k が偶数の時に Ah_{k} のコクセターグラフの２重被覆をとったグラフに対応するコクセター系が、 k が８以下なら双曲的で、k が１０以上なら高階数というクラスになることを示した。よってマクマレンの結果より k が８以下なら２部コクセター元のスペクトル半径はサラム数だが、k=10 の場合は２サラム数になることを示した。今回の結果の応用として、サーストンの構成を用いて拡大率が２サラム数になる擬アノソフ写像が構成できた。具体的には今回の Ah_{10} の２重被覆をとった２部グラフに対応する単純閉曲線を種数１０の閉曲面に描き、互いの交わらない１０個の単純閉曲線の族AとBの積のデーン・ツイストの積ABからなる擬アノソフ写像の拡大率を考えると２サラム数になることが分かった。今後はコクセター系Ah_{k}同様コクセター・グラフがサイクルを持つQ_{k}のクラスについても考察するという新たな研究目標を得た。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究で進展のあった「幾何学的コクセター群との類似」については、コクセター系Ah_{k}同様コクセター・グラフがサイクルを持つQ_{k}のクラスに対し、２重被覆をとった２部グラフに対応する単純閉曲線のデーン・ツイストの積からなる擬アノソフ写像の拡大率を調べる。「Eh10 に関するタイヒミュラー円板、および擬アノソフ写像の性質」については、前年度やり残したBrouwer and Neumaier による最大固有値が 2.05817 以下のグラフの分類と同様の考察を、コクセター系で証明することを目標とする。タイヒミュラー空間の複素解析幾何の研究を活発に行っている宮地秀樹准教授(大阪大)と議論を重ねることで、Eh10 に関するタイヒミュラー円板から定まるヴィーチ群の研究や擬アノソフ写像の歪曲度の評価の研究を行いたい。
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