2017 Fiscal Year Research-status Report
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26400151
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
小森 洋平 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70264794)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 複素解析幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
曲面S上の複素構造の変形の典型的な方法として、SからS自身への擬等角写像による変形がある。Sの複素構造の変形空間であるタイヒミュラー空間T(S)上のタイヒミュラー距離やT(S)自身の複素構造が、この擬等角写像を用いて定義され、Sの複素構造の研究に利用されている。
そのような擬等角変形のうちで特に深く研究されている方法が、次のような平坦構造による変形である。JをSの複素構造とし、qをリーマン面(S,J)上の2次微分とする。この組(J,q)を曲面Sの平坦構造という。qの平方根をS上で複素積分することにより、S上の複素座標ζが得られる(自然座標)。このζにSL(2,R)の元を合成することでSの複素構造が変形できる。これを平坦構造(J,q)による変形という。この変形により定まるSL(2,R)からT(S)への写像は上半平面H2 = SL(2,R)/SO(2)
からT(S) への正則写像f : H2 → T(S)を誘導する。この像f(H2)をタイヒミュラー円板と呼ぶ。このタイヒミュラー円板を保つタイヒミュラー・モジュラー部分群 Stab(f(H2))からPSL(2,R)へ自然な準同型DAf : Stab(f(H2)) → PSL(2,R)が定まり、特に擬アノソフ写像の拡大率は、対応する双曲型のメビウス変換の拡大率に一致する。逆に任意の擬アノソフ写像に対し、それが保つタイヒミュラー円板がただ1つ存在することもベアスにより示されている。このように擬アノソフ写像というタイヒミュラー・モジュラー変換の研究には、タイヒミュラー円板つまり平坦構造が不可欠な道具になっている。
今年度は擬アノソフ写像の拡大率を根に持つ多項式で2-Salem多項式と同じ根の分布を持つ多項式系を構成した。次年度はこの多項式系の既約性を示し、2-Salem数を拡大率に持つ擬アノソフ写像の族の存在を示すことが研究目標である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
申請時の研究目標の3本柱として、「幾何学的コクセター群との類似」、「擬アノソフ写像の拡大率の数論的性質」、「Eh10 に関する タイヒミュラー円板、および擬アノソフ写像の性質」の3つを掲げていた。
昨年度からマクマレンによる双曲コクセター系Ah_{k}に着目してきた。kが奇数ならば Ah_{k} のコクセターグラフは双曲的かつ結晶的な2部グラフになるので、マクマレンの結果より2部コクセター元のスペクトル半径はSalem数になる。昨年度の研究ではkが偶数の時に Ah_{k}のコクセターグラフの2重被覆をとったグラフに対応するコクセター系が、 kが8以下なら双曲的で、kが10以上なら高階数というクラスになることが分かった。よってマクマレンの結果からkが8以下なら2部コクセター元のスペクトル半径はSalem数なる。そこでk=10 以上の場合が問題になり、実際にk=10の場合は2-Salem数になることを今年度示した。k=12以上の場合は、2部コクセター元のスペクトル半径は2-Salem多項式と同じ根の分布を持つ多項式の根になることまでは、Boydの論文Small Salem numbersの方法から分かったが、実際にスペクトル半径が2-Salem数になるかどうかは今年度内には分からなかった。しかしZehrtが研究した双曲余コンパクト4次元コクセター群の族の増大度が2-Salem数になることを、Mahler測度と次数が有限な多項式の係数の有界性を用いて、
増大度が満たす多項式の既約性を示すというSmythの証明を今年度見つけた。
来年度はこのSmythのアイデアを双曲コクセター系Ah_{k}の族に適応できるかを調べる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究で進展のあった双曲コクセター系Ah_{k}のスペクトル半径の満たす多項式系の既約性を研究する。
Zehrtが研究した双曲余コンパクト4次元コクセター群の族の増大度が2-Salem数になることは、2013年にミッタク・レフラー研究所で行われた Grothに関する国際会議で発表したが、その証明は数式処理ソフトMathematicaを多用するもので理論的ではなかった。その後Smythが別証明を与えた。彼のアイデアは、Mahler測度と次数が有限な多項式の係数の有界性を用いて、増大度が満たす多項式の既約性を示すという理論的なものであった。そこで来年度はまずこのSmythの方法で、梅本が研究した別の双曲余コンパクト4次元コクセター群の族の増大度が2-Salem数になることが証明できるかを調べる。そしてその後で双曲コクセター系Ah_{k}の族にSmythのアイデアが適応できるかを調べる。
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| Causes of Carryover |
当初予定していたドイツのボンでのGrowthに関する国際会議が２０１８年度になったため。
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