2014 Fiscal Year Research-status Report
Shepp 空間の linear quasi-metric と数列表現
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26400155
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| Research Institution | Fuzzy Logic Systems Institute |
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Principal Investigator |
岡崎 悦明 一般財団法人ファジィシステム研究所, 研究部, 特別研究員 (40037297)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
本田 あおい 九州工業大学, 大学院情報工学研究院, 准教授 (50271119)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | Shepp 空間 / 位相線形空間 / 数列空間 / Banach 空間 / 関数空間 / 準距離 / doubling condition / doubling dimension |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Lp 関数 f の定める Shepp 空間 Λp(f) の線形構造，位相構造及び数列構造を研究するため，平成26年度は p=2 の場合を精査した．主要な成果は以下の通りである．
1. Shepp 空間固有の距離の数列評価を実現し，内側近似空間及び外側近似空間を導入し，Shepp 空間の諸性質の解明への枠組みを得た．一般の p≠2 の場合にも有用なアイデアであろう．
2. 内側近似空間は Shepp 空間 Λp(f) に含まれる最大の線形空間であるが，この空間に特有の準距離構造が入ることを見出し，Shepp 空間固有の距離との相互評価不等式を得ると共に，その数列構造を明らかにした．この準距離に関して内側近似空間は完備可分位相線形空間となることを証明した．
3. 外側近似空間の線形性と関数 f のフーリエ変換で定まるある種の汎関数の増大度との関連を解明し、この汎関数が doubling condition を満たすことと外側近似空間に特有の準距離の性質との相互関連を明らかにした。更に、外側近似空間が線形であれば，この準距離に関して完備可分位相線形空間になることを証明した．
4. 内側近似空間と外側近似空間が一致すれば，それらは Shepp 空間とも一致し，特に Shepp 空間は線形であり，その線形構造，位相構造及び数列構造もすべての空間の間で同型である．本研究で内側近似空間と外側近似空間が一致するための必要十分条件を，関数 f のフーリエ変換で定まるある種の汎関数(上述の 3. のものと同一)の doubling dimension が 2 より真に小さいこと，の形で得ることが出来た．更にこの条件はある種の関数不等式でも定式化でき興味深い．今後一般の Shepp 空間の研究においても有用な道具となり得る．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
1. 平成26年度の研究計画は，(1) Shepp 空間の距離関数の数列評価，(2) 内側近似空間の特定とその位相線形構造の解明，(3) 外側近似空間の準距離構造，線形構造及びそれらと doubling condition との相互関連の解明，ただし p=2 に限定，であった．これらの課題は既に上記研究実績に記した通り十分満足できる成果を得ることが出来た．加えて以下の結果を得た．
2. 平成26年度の研究を通して，関数の比較定理ともいうべき補題を得ることが出来，今後の研究の有力な手段となることが期待できる．
3. 内側近似空間の研究を通して，可測関数空間（ただし測度空間は無限測度とする）の最大の位相線形部分空間のもつ興味ある性質の一端が明らかとなり，新たな研究対象が出現した．これは M∞ 空間として定式化でき、今後更にその位相線形準距離構造を解明したい．
4. 3 とも関連して，次年度の研究計画の一つである連続型 Shepp 空間の場合の外側近似空間の候補として truncated Lp 空間が候補となり得る可能性が見えてきた．連続型（非数列空間型）の場合の新たな研究の糸口を得た事になる．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実施計画の大幅な変更は予定していない．平成26年度の研究に引き続き，一般の p の場合のShepp空間について，その線形構造，位相構造および数列構造を研究する．まずp=2の場合の諸結果が一般の p の場合にどの程度成り立つかを検証するのが第一歩である．以下の研究課題を設定し研究する． (1) 一般の p の場合にShepp 空間Λp(f) の内側近似空間の導入とその構造の特定，特に linear quasi-metric が導入できるかどうかの検討を行う．(2) 一般の p の場合にShepp 空間Λp(f) の外側近似空間の導入とその構造の特定，特にその線形構造と doubling condition との相互関連を解明する．(3) 実際の応用上は weighted Shepp 空間まで拡張する必要があるどの程度の wight を載せたら良いのか，線形構造，位相構造および数列構造はどうなるのかを考察する．
更に進んで非数列型のShepp空間 Γp(f) を新たに導入し，その線形構造，位相構造および数列構造の研究にも着手する．ここでも linear quasi-metric の概念が重要な役割を果たすであろう．新たに連続型 Shepp 空間への取り組みのための新手法の開発を期して，(4)内側近似空間の設定のために，M∞ 空間の導入とその性質，及び(5)外側近似空間の設定のために，truncated Lp 空間の導入とその性質の研究，を視野に入れてより広い研究を行う予定である．研究推進のため，研究分担者：本田 あおい 氏，研究協力者：佐藤 坦 氏，をメンバーとする定期セミナーを開催し，内外の研究集会への積極的参加と情報収集・情報交換を行い，内外の研究者を招聘し関連するテーマについて討論を行う．得られた結果については，適宜内外の研究集会において研究発表を行う．
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| Causes of Carryover |
研究協力者の東京出張（日本数学会2015年度年会，3月21日ー3月24日，明治大学駿河台キャンパス）を予定していたが，予定期間前後に東京にて私事用事があるということで，研究協力者は学会にも参加されたが，旅費は私費で支出された．このため予定した旅費は次年度に使用することにした．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成27年度旅費及び物品費として使用する．
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