2017 Fiscal Year Annual Research Report
The dynamics of a system of a single reaction-diffusion equation coupled with an ordinary differential equation
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26400156
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
鈴木 香奈子 茨城大学, 理学部, 准教授 (10451519)
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2014-02-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 反応拡散系 / パターン形成 / 解の爆発 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、非拡散物質と拡散物質から成る反応拡散系について考察している。本年度は、解の無限時間爆発について深く考察した。
考える非拡散ー拡散物質系では、対応する常微分方程式系の解はすべての時間で有界であっても、拡散の入った元の系は非有界な解を持ち得ることが数値計算結果によって示唆されている。すでに、ある非拡散ー拡散物質系では、有限時間で爆発する解をもつことを証明した。無限時間爆発する解については、拡散物質に対する方程式の拡散係数を無限大にした極限系について、時間大域的に非有界な解の存在を証明したが、元の非拡散ー拡散物質系については、未解決であった。無限時間爆発の証明における困難は、各時刻で解の評価を得る必要があること、よい比較関数の構築が難しい、などがあげられる。
本年度は、比較関数になり得る非有界な弱定常解の存在とその形状について、詳しく解析した。その結果、肺がん初期にみられる巨視的な空間パターンの生じるメカニズムを記述する非拡散ー拡散物質系の定常問題が、非有界な弱解をもつことが分かり、その形状も詳しく理解することができた。さらに、この非拡散ー拡散物質系の無限時間爆発する解の形状と非有界な定常解にの形状に類似点が多くみられることも数値計算により確かめられた。これに関しては、実際に無限時間爆発する解と非有界な弱解の関係性、とくに弱解の安定性について、引き続き解析を行っている。考えた系の定常問題は、未知関数を分母に含むという特異性を持つ単独の境界値問題に帰着される。ここで用いた弱解の構成法は、同じような方程式に帰着されるより一般の系にも適応可能であり、無限時間爆発する解の解析に一つの指標を与えることができる有益な結果となった。
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