2015 Fiscal Year Research-status Report
振動型積分作用素理論とそれの量子場のFeynman経路積分への応用
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26400161
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
一ノ瀬 弥 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (80144690)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
佐々木 格 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (50558161)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | Feynman経路積分 / Feynman propagator / Dirac方程式 / Schroedinger方程式 / 空間方向に多項式オーダーで増大するポテンシャル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の目的は、Feynman経路積分の数学的構成、即ち、論理的に厳密な構成を与えることであり、主に相対論的量子電磁気学を対象とする研究である。交付申請書に記載されているように、平成2７年度の実施計画は、相対論的量子電磁気学において、電子に対するFeynman propagatorの、Feynman経路積分による構成であった。本年度の研究実績は、以下の通りである。
1. “電子に対するFeynman propagatorの、Feynman経路積分による構成”。研究代表者（一ノ瀬）は2014年の論文で、過去と未来を行き交う経路空間上のFeynman経路積分の数学的構成を行い、Feynmanがノーベル賞講演でその期待を述べていた、反粒子である陽電子の描像の導入に成功した。昨年度から本年度にわたる研究で、2014年の論文の結果の拡張を行い、無限の過去にも未来にも可算無限回行き交う経路空間上の、Feynman経路積分の数学的構成を行うことに成功した。この研究成果は現在、数理物理学の研究で世界のトップに位置する雑誌に投稿中である。電子に対するFeynman propagatorのFeynman経路積分による構成については、現在研究の途中であるが、順調に研究が進んでいる状況である。
2. “空間方向に多項式オーダーで増大するポテンシャルを持つSchroedinger方程式に対する、Feynman経路積分の構成”。空間方向に多項式オーダーで増大するポテンシャルを持つSchroedinger方程式に対する、Feynman経路積分の構成は、経路積分の研究分野において、最も困難な問題として長い間未解決であった。例えば、研究論文Daubechies and Klauder, J. Math.Phys.(1985)とAlbeverio, Hoegh-Krohn and Mazzucchi, Lecture Notes in Math.(2009), Sec.10で、そのことが記載されている。本年度の研究において、十分一般的な条件の下で、これらのSchroedinger方程式に対する、Feynman経路積分の構成に成功した。現在、研究論文の投稿準備中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Dirac方程式に対するFeynman経路積分の構成は、同時刻に可算無限個の電子と反電子（陽電子）を考えることが可能になる形で与えることが出来た。このため、相対論的量子電磁気学に対するFeynman経路積分の研究から見て、ほぼ十分な結果を得ることできた。一方、電子に対するFeynman propagatorのFeynman経路積分による構成について、完全な成果を現在まだ得られていない。このため、研究は当初の研究計画の予定よりやや遅れている。電子に対するFeynman propagatorの研究は、Dirac方程式に比べて難しいということが、この一年の研究で明らかになった。その理由は、Dirac方程式が電子と陽電子を同様に扱うのに対して、Feynman propagatorでは、電子と陽電子は時間の向きについて、その扱いが異なることによる。しかし、この困難も現在克服されつつあり、現在順調に研究は進んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究では、電子に対するFeynman propagatorのFeynman経路積分による構成について、完全な成果をまだ得られていない。このため、この研究を完成させることが本年度の最初の目標である。この研究に引き続いて、この研究成果を用いて、Feynman経路積分によるCompton効果の計算を行うことが次の目標である。更に続いて、光子に対するFeynman propagatorのFeynman経路積分による構成の研究を行う。これらの研究により、相対論的量子電磁気学に対するFeynman経路積分による非摂動論的理論が進展することを期待している。
これらの研究目標達成の為に、外国で開催される国際研究集会、京都大学数理解析研究所、九州大学等に出張して研究情報の収集を行う。
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