2015 Fiscal Year Research-status Report
非線形偏微分方程式系の解・解空間の大域的解析をめざして
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26400163
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
西田 孝明 京都大学, 情報学研究科, 名誉教授 (70026110)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / 解析学 / 非線形偏微分方程式系 / 大域的解析 / 計算機援用解析 / 特異極限 / 解の安定性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
圧縮性粘性流体の平面 Poiseuille 流の線形安定性を調べ、 Mach 数が小さくない時には、 Reynolds 数が臨界 Reynolds 数を越えると不安定性が起こることを解析的に示した。
この臨界 Reynolds 数は、 Mach 数が零（非圧縮性流体）の時のそれよりもはるかに小さい。常温での空気も水も現実には、 Mach 数は、正である。
この不安定性は、 Reynolds 数が増大する時に固有値が複素平面の虚軸を横切ることにより起っているのが示せる。これは平面 Poiseuille 流からの周期解分岐を示唆していて、実際に非線形系に対して臨界 Reynolds 数を越えたところで周期的進行波が分岐していることを示した。
圧縮性粘性熱伝導性流体の水平な帯状領域での熱対流問題で、ある無次元化の助変数 L を入れると、非圧縮性粘性流体近似である Oberbeck- Boussinesq 方程式系を L が無限大での極限として取込める定式化が出来る。その初期ー境界値問題を考察し、系が線形系の時には、 L に対して一様に時間大域的に解が構成でき、 L を無限大にすると Oberbeck-Boussinesq 系に収束している事を示した。ただし、極限の系には、圧縮性の圧力項からくる修正が必要な事も分かる。これらは論文として投稿され掲載決定し印刷中。
Oberbeck-Boussinesq 系の定常解を求めるのに時間依存の人工的圧縮項を導入して時間無限大での定常解を求める Chorin の方法があり、 cell 状の解などが数値的に Chorin により求められている。その正当性の解明のためには、定常解で線形化した作用素のスペクトルを調べる事が必要である。ある境界条件の場合には、固有値の動きを数値計算でき、この方法の正当性を示唆していた。この解析が出来始めている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非圧縮性流体の場合と違って圧縮性が有る（ Mach 数が正 )場合には、平面 Poiseuille 流の安定性が小さい Reynolds 数のところで壊れて、そこから周期的進行波が分岐する事を示す事ができたのは、数年前の疑問に答えたもので予想通りになった。
圧縮性から非圧縮性への特異極限の問題に関して、圧縮性粘性熱伝導性流体の熱対流問題と Oberbeck-Boussinesq 系への Chorin の方法の正当性との両者で解決に動き出した。
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| Strategy for Future Research Activity |
圧縮性粘性流体の平面 Poiseuille 流に関して、 Mach 数と Reynolds 数を変化させて、
得られている周期的進行波の分岐曲線を大域的に追跡し、非圧縮性極限の時との比較をしたい。さらに同問題を円筒領域で考えたい。
圧縮性粘性熱伝導性流体の熱対流問題では、非線形系の時に、時間大域的に助変数に関する一様評価を得ることを目指したい。
Chorin の方法の Oberbeck-Boussinesq 系の時に、スペクトル解析を完成させたい。
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