2016 Fiscal Year Annual Research Report
制約条件付き流体方程式と一般化された放物型変分不等式に対する相補性条件の応用
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26400164
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| Research Institution | Kyoto University of Education |
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Principal Investigator |
深尾 武史 京都教育大学, 教育学部, 教授 (00390469)
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2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 力学的境界条件 / Cahn-Hilliard方程式 / 総体積保存則 / 退化放物型方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度までの研究によって明らかとなった、力学的境界条件の構造として現れる領域の内部と境界上の積分量の和が保存されるという「総体積保存則」に注目した偏微分方程式の可解性について研究を継続した。Cahn-Hilliard方程式系に関連して境界上でもCahn-Hilliard方程式を考察する系の可解性に関する結果をもとに、力学的境界条件下での退化放物型方程式をCahn-Hilliard方程式の極限として特徴付けした。特に、退化放物型方程式の単調項をより広いクラスで取り扱い、その可解性の結果を得た。
力学的境界条件下での退化放物型方程式をCahn-Hilliard方程式によって特徴付けできることは先行研究で確かめられていたが、その際には単調項はStefan問題に現れる区分的に線形な単調関数を想定して、増大条件を仮定して可解性を論じていた。一般にあるソボレフ空間の共役空間を基礎空間とする発展方程式の抽象論によるStefan問題への接近では増大条件の仮定は本質であった。具体的に凸関数の下半連続性を得る際に必要であった。しかしながら、Cahn-Hilliard方程式の可解性では、対応する単調項について増大条件を必要としない点に注意し、退化放物型方程式の場合に増大条件から得られる評価式を別の手法で得直すことで増大条件の仮定を外すことができることを確認した。これはCahn-Hilliard方程式による接近では凸関数の選び方が異なり、下半連続性を必要としないためであるとも言える。一連の研究により、力学的境界条件および斉次ノイマン境界条件の場合には増大条件無しに退化放物型方程式の可解性がCahn-Hilliard方程式による接近で議論できることが明確になった。
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