2015 Fiscal Year Research-status Report
双曲型作用素の主表象のスペクトル及びハミルトン流の構造と強Gevrey双曲型指数
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26400167
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
西谷 達雄 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80127117)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | Gevrey強双曲性指数 / 法束上で狭義双曲型 / 包合的 / 強双曲系 / 局所化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一般のm階の微分作用素に対してGevrey強双曲性の研究を最も重要と思われる場合から始めた.Gevrey強双曲性指数を，任意の低階に対して初期値問題がGevreyのsクラスで適切となる最大のsとして定義するとき，V.Ivriiによって微分作用素がm次の特性点をもつときGevrey強双曲性指数はm/(m-2)以下であることが知られていた．この条件の十分性に対応する結果として以下の結果の証明に成功した．m次特性点集合は滑らかな多様体と仮定し，微分作用素のm次特性多様体における局所化を考える．この局所化の伝播錐がm次特性多様体に横断的でありかつ局所化が特性多様体の法束で狭義双曲型多項式となるときGevrey強双曲性指数はm/(m-2)となる．この結果はGevrey強双曲型指数の研究の最初の基本結果と考えられる．一方でBronshteinの古典的な結果からm階の微分作用素に対してはGevrey強双曲性指数はm/(m-1)以上であることが知られている．これについて局所化の伝播錐がm次特性多様体の接平面に含まれる場合については局所化が特性多様体の法束で狭義双曲型多項式であるとの仮定の下でいくつかの補足的条件を課すと実際にGevrey強双曲型指数がm/(m-1)になることを示すことができた．
一階のmxmの微分方程式系についてもGevrey強双曲型指数の研究を行い，G.Metivierと共同で系の行列式のm次特性点集合が滑らかな多様体でかつ包合的な場合，行列式の局所化が特性多様体の法束で狭義双曲型多項式ならば系は強双曲系であることの証左を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
m階微分作用素に対してGevrey強双曲性指数が最大になる場合を考察し，局所化の伝播錐と特性多様体が横断的でかつ局所化作用素が特性多様体の法束上で狭義双曲型作用素のとき，Gevrey強双曲性指数がm/(m-2)であることを示すことに成功した．これは2階微分作用素が実効的双曲型作用素である場合に対応し，Gevrey強双曲性の研究において最も重要な場合の一つであると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
Gevrey強双曲性の研究においてもう一つの重要な場合である，局所化の伝播錐が特性多様体の接空間に含まれる場合の研究を推し進める．Bronshteinの古典的な結果より，m 次特性点をもつ微分作用素に対し，そのGevrey強双曲性指数はm/(m-1)以上であることが知られているが，局所化の伝播錐が特性多様体の接空間に含まれる場合はGevrey強双曲性指数はm/(m-1)であることが予想される．この予想の証明に挑む．
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| Causes of Carryover |
イタリアのピサ大学を訪問しピサ大学のF.Colombini氏と２週間程度の共同研究を行う予定であったが，Colombini氏の体調不良によってこの計画を次年度に延期した．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
2016年の４月にイタリアのピサ大学を訪問しF.Colombini氏と２週間程度の共同研究をおこなう．そのための旅費として使用する．
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