2015 Fiscal Year Research-status Report
非線形波動に関連した偏微分方程式の解の存在と漸近挙動
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26400168
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| Research Institution | Wakayama University |
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Principal Investigator |
片山 聡一郎 和歌山大学, 教育学部, 教授 (70283942)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 非線形波動方程式 / 大域解 / 漸近挙動 / 零条件 / 弱零条件 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線形波動を表す様々な非線形偏微分方程式系の初期値問題を考察し, 時間大域解の存在条件や, 大域解の漸近挙動等を明らかにするのが本研究の目的である。初期値は小さいものに限定する代わりに, 可能な限り広いクラスの非線形項を統一的に扱うことを目指す。
昨年度に引き続き, 本年度は半線形波動方程式系の解の存在条件および漸近挙動に関する研究を進めた。この場合には, 大域解の存在を保証する古典的に有名な条件として零条件 (null condition) がある。また, 零条件の下では大域解は漸近自由であること, すなわち非線形項を持たない線形波動方程式系の解に時間とともに漸近していくことが知られている。
空間2次元および3次元での半線形波動方程式系に対して, 昨年度の研究により零条件よりも弱いような大域解存在のための条件が得られていた。また, 3次元の場合にはこの条件下で, 2次元の場合にはこれよりも若干強い条件の下で解の漸近挙動が半線形波動方程式系を簡約化して得られる常微分方程式系の解により記述されることも分かった。本年度は, この結果の応用として, エネルギーが保存され, 未知関数の時間微分のみに依存するような臨界次数の非線形項をもつ2成分の半線形波動方程式系を考え, その大域解の挙動を精密に分類した。得られた成果は以下の通りである: 3次元の場合には小さな初期値に対する全ての大域解は漸近自由だが, ある方向の成分のエネルギーが0になることが知られていた。他方, 2次元の場合には全く別の漸近挙動も起こりうることが明らかになった。具体的には, 非線形項の零点の持ち方に応じて, 3次元の場合と同様の挙動を示す場合, 漸近自由だが, 成分の消え方がより複雑な挙動を示す場合, そもそも漸近自由にならない場合の3通りに分かれることが分かった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非線形波動方程式系の大域解の漸近挙動についての深い理解を得ることは本研究の目的のひとつである。今年度は昨年度に得た一般論を応用して, 漸近挙動の詳細な分類をすることにより, 新たな知見を得ることができた点から, 本研究課題はおおむね順調に進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度はこれまでに得られた半線形波動方程式系の結果の一般化を目指すのに加え, 準線形波動方程式の解の漸近挙動や, 波動とクライン-ゴルドンの非線形連立系に対する考察を開始していこうと考えている。今後もおおむね申請時の研究計画に沿って研究を推進していけると考えている。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額はわずか73円であり, 物品等の見込み価格と実売価格の僅かな差により生じたものである。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
ごく小額のため, 翌年度の使用計画に格段の配慮は必要なく, 必要な小額消耗品の購入等を通じて解消されると考えられる。
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Research Products
(3 results)
