2015 Fiscal Year Research-status Report
変係数発展方程式の解析とキルヒホフ型波動方程式の非線形構造の解明
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26400170
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
廣澤 史彦 山口大学, 理工学研究科, 教授 (50364732)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 偏微分方程式 / 非線形波動方程式 / キルヒホフ方程式 / 変数係数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
変数係数双曲型方程式のエネルギー評価における初期値の係数の滑らかさの影響について：
キルヒホフ方程式の線形化問題の一つと考えられる、伝播速度が時間変数に依存する波動方程式に対して、その初期値問題の解のエネルギー評価について研究を行った。定数係数波動方程式の解の滑らかさやエネルギーが保存されることは明らかである。変数係数の場合、係数が非退化かつ微分可能であれば、時間大域的な解の滑らかさは保証される一方で、エネルギーの保存や有界性は一般に成り立たない。本研究では、一般にはエネルギーの有界性が成り立たないような係数を持つ方程式に対して、Gevreyクラスのようなエネルギーのクラスよりも滑らかな初期値に対しては、エネルギーの有界性が成り立ちうることを証明した。このような設定の下で、エネルギー評価における初期値の滑らかさの寄与に関する結果は知られておらず、変数係数波動方程式の研究に新たな視点を与えるものである。またこの研究は、初期値の滑らかさが大域可解性の評価において本質的であると考えられるキルヒホフ方程式の研究においても、新たな解析方法を提供すると期待される。本研究は、Ebert-Fitriana-Hirosawa[EFH] で公表済みである。
[EFH] M. R. Ebert, L. Fitriana and F. Hirosawa, On the energy estimates of the wave equation with time dependent propagation speed asymptotically monotone functions, J. Math. Anal. Appl. 432 (2015), 654-677.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の研究は、主に変数係数の線型波動方程式に対してであり、得られた結果自体は興味深く意外性のあるものであった。非線形問題への応用については、現段階では目だった進展は無い。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究により、変数係数波動方程式の解のエネルギー評価において、係数の滑らかさと振動、そして初期値の滑らかさが重要であることが明らかになってきた。その背景には、変数係数が解のフーリエ像、すなわち時間周波数領域に及ぼす影響の精密な解析の成果がある。この結果は、現在得られている単なる解のエネルギー評価だけではなく、非線形波動方程式の解析においてより意味のある、解そのもののL-2ノルムの評価にも応用が可能である。今後は、解のL-2ノルムの評価と半線形波動方程式の大域可解性の問題への応用について研究を展開してゆく予定である。また、キルヒホフ方程式の大域可解性への応用についても、初期値の滑らかさの寄与という立場から引き続き研究を行ってゆく予定である。
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