2016 Fiscal Year Research-status Report
非線形放物型偏微分方程式における臨界指数と解の挙動
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26400171
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| Research Institution | Ehime University |
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Principal Investigator |
内藤 雄基 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (10231458)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科, 教授 (40232227)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 非線形解析 / 楕円型偏微分方程式 / Liouville 型定理 / A priori 評価 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線形偏微分方程式においては、非線形性や空間次元、パラメータ等によって決まる臨界指数が存在し、その指数を超える毎に解の性質や挙動が劇的に変化することが知られている。今年度は、Sobolev 劣臨界における非線形楕円型偏微分方程式および非線形放物型方程式に対して、非線形項の係数関数が非負であり零領域をもつ場合（semidefinite case）の正値解の事前評価（a priori estimate）について考察を行った。スケーリング法を適用することにより、解の事前評価に対する問題が特別な非線形楕円型偏微分方程式に対する Liouville 型問題に帰着されることを示すとともに、その Liouville 型定理を導いた。非負係数関数が零領域をもたない場合には、係数関数を正定数とする非線形楕円型偏微分方程式に対する Liouville 型問題に帰着されることが知られているが、非負係数関数が零領域をもつ場合には、係数関数が部分空間のみに依存する係数関数をもつ非線形楕円型偏微分方程式に対する Liouville 型問題に帰着できることを示すことができた。
非線形常微分方程式系の解の幾何学的な性質について考察を行った。本研究では、half-linear というスケーリングに関してある種の同次性をもつ方程式系に対して、解軌道が可長的かそうでないか、という問題を考え、それらの性質を満たす解をもつための方程式系の係数関数に対する臨界的な減衰オーダーを特定することができた。
非線形楕円型偏微分方程式の境界値問題の解の分岐構造について考察を行った。分岐問題において安定最小解の臨界に現れる極解が特異的であるかどうかという問題の考察を行った。本研究では、特異解の存在・一意性を示し、さらにその特異解が極解であるための必要十分条件を明らかにすることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非線形楕円型偏微分方程式の解構造および非線形放物型偏微分方程式の時間大域解の漸近挙動において、Sobolev 臨界指数、 Joseph-Lundgren 臨界指数の及ぼす影響を捉えることができたとともに、さらに、非線形放物型方程式の不完全爆発解の構成および解の
自己相似解への収束性に関する研究に着手することができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
優 Sobolev 臨界における非線形放物型偏微分方程式の不完全爆発解の存在とその性質を明らかにするとともに、関連する楕円型偏微分方程式に対しても研究を進めたい。そのために正則解の特異解への漸近的性質を明らかにしたい。
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| Causes of Carryover |
研究協力者の転任により、研究打ち合わせを遅らせたことにより未使用額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究打ち合わせ等を行うとともに、新たな資料収集も必要になると思われる。また成果発表も計画している。未使用額はそれらの経費に充てることとしたい。
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