2016 Fiscal Year Annual Research Report
縮約系を応用した高次元空間にみられる現象の解明と解析的手法の構築
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26400173
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| Research Institution | University of Miyazaki |
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Principal Investigator |
辻川 亨 宮崎大学, 工学部, 教授 (10258288)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 微分方程式 / 分岐理論 / 反応拡散方程式 / 特異摂動論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究の目的は反応拡散法方程式の定常解のパラメータ依存による大域的な構造、その安定性及び連結軌道の存在を含めた力学構造を明らかにすることである。1つの方針として、ある種のパラメータの極限を取ることで、方程式が縮約され解析が容易になる場合がある。縮約の方法はいくつかあるが、元の方程式の解構造を反映するように選ぶ必要がる。本研究では適切な縮約系（Shadow System）の解析から議論を進める。解析手法として、分岐理論、特異摂動法、レリー・シャウダーのDegree理論、及び数値計算などの方法を用いる。
考察する方程式は走化性増殖モデル、触媒反応モデル、細胞極性モデルなどである。また、その単純化方程式についても詳しく調べることにより、各種モデルの解構造を解明する。特にその構造は定数解からの分岐現象と密接に関係があり、分岐点から離れたところで2次分岐現象が起こる可能性もあり、この解明は難しい問題である。
具体的な成果としては非局所項を持つ摂動Allen-Cahn型の方程式について、1次元で反射境界条件の下非定数解の存在を示した。方程式に含まれる2つのパラメータに関する大域的な解構造をすべて明らかにした。すべての解は単調な解の縮小したものの鏡映、折り返しの繰り返しで構成することができる。非局所項として積分項を扱っており、適当な変換により方程式を解くことは積分制限条件の下でのスカラー方程式の解を求めることに対応している。すべての解構造は定数解からの分岐構造としてとらえることが可能となり、その解は単調であり、パラメータ表示される。また、パラメータを変化させることで分岐した解は内部遷移層を持つ解に繋がる。特別なパラメータの場合、分岐した解は対称性の崩れから2次分岐現象を起こし非対称解が出現する。一部は解が楕円関数を用いて陽に表示されることを用いて示した。
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Research Products
(3 results)
