2015 Fiscal Year Research-status Report
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26400175
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| Research Institution | University of Hyogo |
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Principal Investigator |
楳田 登美男 兵庫県立大学, 物質理学研究科, 教授 (20160319)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山岸 弘幸 東京都立産業技術高等専門学校, その他部局等, 准教授 (10448053)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / スペクトル理論 / 国際研究者交流 / 国際情報交換 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
スカラー・ポテンシャル q を持つディラック作用素で、質量項がゼロの場合に、（q に関する）十分緩い条件の下でSchnol' の定理を証明する事に成功した。この成果は、昨年度からの宿題とも言うべき課題を解決したものである。（昨年度の結果はスカラー・ポテンシャルの条件に改善余地が残っていた。）また、同じ型のディラック作用素がスペクトル・ギャップを持たないことを、q に対する制約条件を実質的に課さない形で示した。この型のディラック作用素は、科学、工学の様々の分野で注目されて盛んに研究されている物質（グラフィーン）の数学モデルになっている。しかし、スカラー・ポテンシャル q としてどのような関数が適当であるのかについて、この分野の研究者の間でいまだに議論が別れている。このような状況を勘案すると、q が実質的にどんな関数に対しても適用できることを保証する本年度の研究成果は応用上も大きな意義があるものと考えている。
スカラー・ポテンシャルをもつシュレディンガー作用素の埋込まれた固有値の新しい構成法を見つけられた。フォン・ノイマン-ウィグナー型ポテンシャルをもつシュレディンガー作用素の埋込まれた固有値に関しては、ひとつの
埋蔵固有値を扱う研究が殆どであったが、本研究では、任意個数の埋込まれた固有値を論じることに成功した。しかも、本研究ではこれまで扱われたことのない複素数値のフォン・ノイマン-ウィグナー型ポテンシャルを許容している。この点が非常に新しい成果であると考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
相対論的作用素（ディラック作用素、相対論的シュレディンガー作用素）の固有値の性質、より一般にはこれらの作用素のスペクトルの性質を解明するのが本研究の目的である。平成２７年度はディラック作用素に関して概ね想定通りの進捗具合であったが、偶然のきっかけからシュレディンガー作用素についても、新しくて興味深い成果が得られた。シュレディンガー作用素はディラック作用素と深い関係にあるものの、数学的には大きく異なっており、本研究では取り扱いを想定していなかったので、想定外（想定以上？）の成果が得られた。フォン・ノイマン-ウィグナー型ポテンシャルをもつシュレディンガー作用素の研究は1920年代から始まったが、これまで複素数値のポテンシャルが論じられたことはなく、この点においても想定外の成果が得られた。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究においては、相対論的シュレディンガー作用素のスペクトル理論、散乱理論も研究対象にしているが、現在までのところ、その為の時間を十分に割くことが出来なかった。そこで、今後はこれらについての研究も展開したいと考えている。また、フォン・ノイマン-ウィグナー型ポテンシャルをもつシュレディンガー作用素についても、従来の研究で見過ごされてきた問題がいくつかあることに気づいたので、これらの研究を進めたい。ディラック作用素に関しては、上記「研究実績の概要」で述べたグラフィーンへの応用に直接に関係するような研究が展開できないかと考えている。
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| Causes of Carryover |
３月に主催者の一人として開催した「偏微分方程式姫路研究集会」に招聘を予定していたウィンクルマイア准教授（コロンビア）がご尊父の容態急変のために、来日がキャンセルとなったことが理由である。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度はベルゲン（ノルウェー）での国際研究集会（５月９日～１４日）に参加するための費用に、また、サンクトペテルブルグ（ロシア）での研究集会（８月２日～７日）の渡航費用の一部に、割り当てる予定である。
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| Remarks |
上に記載したURLにアクセスすると、本研究のこれまでの研究成果に関するwebページへのリンクが見つかります。プレプリント・サーバ上の論文へのリンクと、オープン・アクセスの雑誌に掲載された論文へのリンクを貼ってあります。
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