2016 Fiscal Year Research-status Report
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26400175
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| Research Institution | University of Hyogo |
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Principal Investigator |
楳田 登美男 兵庫県立大学, 物質理学研究科, 教授 (20160319)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山岸 弘幸 東京都立産業技術高等専門学校, ものづくり工学科, 准教授 (10448053)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 埋蔵固有値 / スペクトル理論 / 関数方程式 / 国際研究者交流 / 国際情報交換 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の交付申請書に記載した３つの研究目的の内の一つが相対論的シュレディンガー作用素のゼロ・エネルギーと低エネルギー（スペクトルパラメータがゼロのとき、及び小さいとき）のスペクトル的性質の解明であった。平成２８年度はこの研究目的遂行に傾注した。得られた成果を具体的に述べる。１つは「ゼロ・エネルギーが相対論的シュレディンガー作用素の固有値でなければ、その近くに埋め込まれた固有値は存在しないこと」を証明した。このことから、ゼロ・エネルギーに無限に近づく正固有値の系列が存在する場合には、ゼロ・エネルギーは必然的に固有値になることが導かれる。２つめは、ゼロ・エネルギーが固有値になるのは稀な現象であることを示した成果である。すなわち、正固有値の系列がゼロ・エネルギーに限りなく近づく現象は稀であることを示した。３つめの成果は、相対論的シュレディンガー作用素が正固有値を持たないために、ポテンシャルが満たすべき条件を見いだしたことである。相対論的シュレディンガー作用素のゼロ・エネルギー、低エネルギーに関わる研究はほとんど見当たらず、本研究が最初だと思われる。４つめの成果は、以上３つの成果をもとにして、相対論的シュレディンガー作用素に対する散乱問題について詳しく調べたことである。ポテンシャルが無限遠方で |x| の -3乗 程度の減衰の仕方をする場合に、波動作用素の存在と完全性を示し、さらに散乱作用素、波動作用素の低エネルギーでの漸近挙動に関して新しい結果を得た。この成果は、上に述べた３つの成果があって初めて成り立つものであり、したがって本研究が口火をきったと言える。これらの成果を得るにあたって研究分担者の山岸弘幸准教授（東京産業技術高専）にソボレフ不等式に関する解析を依頼した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
平成２６年度は計画通りに進捗し、平成２７年度も計画通りに進捗した上に、当初計画にはなかった研究成果が得られた。今年度は上記「研究実績の概要」欄に述べたように、当初計画通りの成果が得られた。以上を総合して、現在までの進捗状況としては、計画以上に進展していると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
交付申請書に記載した３つの研究目的のうち、２つはすでに達成した。その結果、相対論的作用素の閾値エネルギーのスペクトル的性質に関して、当初の目的に関わる部分についてはかなりの程度解明できたと考えている。今後は残る１つ「q≠0、A≠0、m≠0 の場合のディラック作用素」の閾値エネルギーでのスペクトル解析である。この場合の閾値エネルギー ±m がレゾナンス・エネルギーになり得ないこと、また固有値になるのは稀であることを示したい。これに関連して、ディラック作用素を含む一般的な作用素のクラスでのスペクトル解析の可能性を現在検討している。それにより、見通しの良い解析方法が確立できるものと期待している。
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| Causes of Carryover |
Ben-Artzi 教授（イスラエル・ヘブライ大学）を平成２９年３月に約３週間の予定で招聘する予定で当初計画を立ており、そのために約４０万円を割いていた。しかし、平成２８年１０月になって磯崎洋先生（筑波大学名誉教授）から「Ben-Artzi 教授来日の折に研究打合せを行いたい。ついては招聘費用は全額を自分が負担したい。」との依頼があったので、その意向を受入れた。このために４０万円を越える次年度使用額が生じたものである。なお、今回の滞日で、Ben-Artzi 教授は、前半の１０日間に兵庫県立大学での討議、研究打合せを行い、後半の１０日間に立命館大学（磯崎先生の科研費事務を担当）での研究打合せを行った。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成２９年度中に Ben-Artzi 教授を訪問して、研究打合せを行いたいと考えており、そのための費用に充てる予定である。本研究課題は平成２９年度が最終年度であり、Ben-Artzi 教授訪問は平成３０年度以降の研究課題へと繋がることが期待され、したがって、さらなる研究の展開を見据えてBen-Artzi 教授と研究打合せを実施したいと考えている。
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| Remarks |
本研究に関わる４編の発表論文のうち、２編についてリンクを張ってあります：１編はオープン・アクセスの雑誌に、残る１編は公的プレリントサーバ（arXiv）に張ってあります。
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