2017 Fiscal Year Annual Research Report

Spectral analysis and eigenvalue problems for relativistic operators

Research Project

Project/Area Number	26400175
Research Institution	University of Hyogo
Principal Investigator	楳田登美男兵庫県立大学, 物質理学研究科, 教授 (20160319)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	山岸弘幸東京都立産業技術高等専門学校, ものづくり工学科, 准教授 (10448053)
Project Period (FY)	2014-04-01 – 2018-03-31
Keywords	スペクトル解析 / ディラック作用素 / シュレディンガー作用素 / 相対論的シュレディンガー作用素 / 固有値問題
Outline of Annual Research Achievements	本研究で当初目指していたのは、相対論的作用素（ディラック作用素、および相対論的シュレディンガー作用素）の低エネルギー、およびゼロ・エネルギーでのスペクトル的性質の解明であった。２つの作用素の内、相対論的シュレディンガー作用素についてはほぼ目的を達成した。具体的には、１）ゼロ・エネルギーが固有値でなければ、ゼロの近傍に埋め込まれた固有値は存在しないこと、２）ゼロ・エネルギーが固有値として現れるのは稀な現象であること、３）波動作用素の存在と完全生を示し、これに基づいて散乱行列の低エネルギー極限を解明したこと、以上の３つである。副産物として、シュレディンガー作用素に対して、埋め込まれた固有値の存在を保証するノイマン型ポテンシャルの新しい構成法を提唱した。本研究の構成法は、任意個数の埋め込まれた固有値を、任意の場所に生成できる点で、従来の構成法に比べて革新的である。以上の様に相対論的シュレディンガー作用素に関して、想定通りの成果を挙げられたのに対し、ディラック作用素に関しては、想定外の成果が得られた。すなわち、ディラック作用路の絶対連続スペクトルに呼応する解（発展方程式の解）の時空間評価が得られたことである。これが最終年度の研究成果である。ディラック方程式の解の時空間評価に関して従来の最良の結果 (2008年) と比べると、本研究での成果は簡明であり、手法において汎用性があると言う意味で優れている。実際、同じ手法で、マックスウェル方程式に対しても、解の時空間評価が得られる可能性があり、現在、検討中である。この手法によって、1980年代末までは盛んに研究されたものの、その後、研究が途絶えている一般的な作用素のクラスが取り扱える可能性も見えてきたので、これに関しても現在研究を進めている（平成３０年度-平成３３年度基盤研究 (C) 18K03340 ）