2015 Fiscal Year Research-status Report
Non-standard growthを持つ汎関数に対する変分問題の研究
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26400177
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
立川 篤 東京理科大学, 理工学部, 教授 (50188257)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 変分問題 / Non-standard growth / 解の正則性 / p(x)-growth |
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| Outline of Annual Research Achievements |
変分問題とは与えられた汎関数の極値を与える写像を求める問題である。ある変分問題の「解」を求める手法として「変分問題における直接法」と呼ばれるものがある。これは、（１）ソボレフ空間の中で極値を与える写像・関数（弱解）を求め、（２）それらが、考えている問題が要求するレベルまで微分可能であることを示すという２つのステップによるものを指す。この後半の部分を「正則性の問題」と呼び、古くから今日まで盛んに研究されている問題である。
変分問題で扱われる汎関数は、未知関数の微分への依存性、より詳しく言えば未知関数の微分の大きさ（ノルム）に関する増大度により、standard growth と non-standard growthの２つに分類される。本研究で扱うのは、このnon-standard growthをもつ汎関数に対する変分問題に対する解の正則性の問題である。本年度は、昨年度に引き続きp(x)-growthと呼ばれるタイプの汎関数を扱った。これまでは、
p(x)が２以上の場合と1<p(x)<2の場合に対して別々に結果が得られており、途中で用いる手法も異なっていた。本年度は立川の博士課程の学生である薄羽君との共同研究により、これらを統一的に扱い、これまでの結果をp(x)>1という条件の下で示すことに成功した。これは論文としてまとめ、現在一流誌に投稿中である。また、2015年10月にナポリ大学へ出張した際、Antonia Passarelli di Napoli氏、Falvia Giannettis氏らと知己を得て、”Δ2-条件”と呼ばれる条件を満たす関数φの中にエネルギー密度を入れたものの積分で与えられる汎関数、すなわちφ-growthと呼ばれる汎関数に対する研究を開始した。これに対しても、結果を得つつある。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
p(x)=2を超えて変化する場合に対する結果を得るのは、もう少し時間がかかると思っていたが、予想遥かにけるペースで結果を得ることができた。また、Passarelli di Napoli氏、Flavia GIanneti氏らとの共同研究は当初の予定外の新たな問題の発見につながり、今後の研究に新たな方向を与えるもとなったことの意義は極めて大きく、予想を上回る成果と言ってよいであろう。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度は、これまでの研究の延長線上にあるp(x)-growthの問題に対するRagusa氏との共同研究を進めながら、昨年度より始めたφ-growthの問題に対するPassarelli di Napoli氏、Flavia Gianneti氏らとの共同研究も進めていく。
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| Causes of Carryover |
一昨年度（2014年度）は学内業務に忙殺され、当初の予定通りの海外出張ができず、90万円を越すの残金が発生していた。そのため、今年度は、科研費申請時の計画よりかなり多めに支出する計画を立て、順調に消化したが、それでも、約32万円の残金が発生した。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度は既に２名以上の外国人研究者の招聘と海外出張を予定しており、全額使い切る予定である。
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