2014 Fiscal Year Research-status Report
結晶粒界運動に関連する自由境界問題の数学解析と発展
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26400179
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| Research Institution | Kanagawa University |
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Principal Investigator |
山崎 教昭 神奈川大学, 工学部, 教授 (90333658)
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2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / 実函数論 / 力学系 / 最適制御 / 自由境界 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、温度が一定であるという状況の下で、物質の凝固現象を考慮した結晶粒界数理モデルの理論解析を行った。具体的には、物質の状態変化（液体固体の相変化）を記述する Allen－Cahn 方程式と結晶粒界運動方程式とを組み合わせた連立の数理モデルの理論解析を行った。それは、Kobayashi により提唱された、線形拡散項を考慮した結晶粒界数理モデルである。
Kobayashi モデルは、線形拡散項があるが連立の偏微分方程式系であるため、抽象発展方程式理論の立場からの解析は困難を極めた。しかし、時間離散化法を用いることで Kobayashi モデルの解の存在を示すことができた。更に、線形拡散項の係数を０とする手法（粘性消滅法）により、Kobayashi－Warren－Carter が提唱した本来の結晶粒界数理モデルとAllen－Cahn 方程式とを組み合わせた連立の結晶粒界数理モデルの解の存在を証明することができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
線形拡散項の係数を０とする手法（粘性消滅法）により、Kobayashi－Warren－Carter が提唱した本来の結晶粒界数理モデルとAllen-Cahn 方程式とを組み合わせた連立の結晶粒界数理モデルの解の存在を証明することができた。これは当初の計画では予想していなかった研究成果である。
また、時間離散化法で近似する手法が、連立の結晶粒界数理モデルを解析する上で非常に有効であることが明らかになった。これは、今後、コンピュータを用いて結晶粒界数理モデルの解や最適制御問題の解を、数値実験的に求める上で非常に意義のある研究成果である。
以上のことから、総合的に考えると、現在までの達成度については、『おおむね順調に進展している。』と言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
結晶粒界運動を数学的に捉える方法が幾つかあるが、今後は特異極限法による解析を試みる。特に、Kobayashi 達により提唱された空間２次元の数理モデルは、完全に結晶化された後の運動方程式であり、体積が保存されている現象である。体積保存された物質の界面を記述する近似方程式としては、Cahn－Hilliard 方程式が代表的である。
近年、力学境界条件を課した Allen－Cahn方程式が盛んに研究されている。力学境界条件を課した Allen－Cahn方程式を用いても体積保存された物質の界面の運動を記述することができるのではないかと考えている。そこで、今後は、力学境界条件を課した Allen－Cahn方程式の特異極限問題を考察し、界面運動の挙動の解析を行う。
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| Causes of Carryover |
ドイツ・ベルリン、WIAS研究所の M. Hassan Farshbaf-Shaker 氏と研究打ち合わせするための国外旅費（１ヶ月）を計上していたが、ドイツ国内滞在費を訪問先のWIAS研究所に補助して頂いたため、次年度使用額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
ドイツ・ベルリン、WIAS研究所の M. Hassan Farshbaf-Shaker 氏を日本に招聘するための旅費（2015年10月、１ヶ月程度を予定）として使用する。
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