2016 Fiscal Year Research-status Report
結晶粒界運動に関連する自由境界問題の数学解析と発展
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26400179
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| Research Institution | Kanagawa University |
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Principal Investigator |
山崎 教昭 神奈川大学, 工学部, 教授 (90333658)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / 実函数論 / 力学系 / 最適制御 / 自由境界 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、閉区間[-1,1]上の指示関数の劣微分項を含む Allen-Cahn方程式や特異拡散方程式系に対する数値的解析を試みた。
閉区間[-1,1]上の指示関数の劣微分項を含む Allen-Cahn方程式は、純粋な物質の状態の変化を表現するものであるが、指示関数の劣微分項は多価関数であるため、その数値実験は困難である。指示関数の劣微分項を吉田近似することにより、数値実験を行うことができるが、吉田近似パラメータの取り方によっては、数値計算結果が時間とともに振動して安定にならない。そこで、本年度は、指示関数の劣微分項を吉田近似した数値計算法において、安定した数値実験結果を得るための条件（時間差分、空間差分、吉田近似パラメータ、特異極限パラメータの関係）を理論的に明らかにした。さらに、コンピュータを用いて数値実験を行い、得られた理論結果が妥当であることを確認した。また、指示関数の劣微分項を吉田近似した方法では、解の値が閾値[-1,1]を超えてしまうことが理論的にも実験的にも確認されたので、解の値が閾値[-1,1]を超えないような数値計算法を提案し、安定した数値実験結果を得るための条件を理論的に導出するとともに、数値実験を行い、得られた安定性条件の妥当性を確認した。
Kobayashi－Warren－Carterが提唱した結晶粒界数理モデルの最適制御問題を理論解析する前準備として、液体固体相転移現象を記述する、特異拡散項を含む連立の偏微分方程式系に対する最適制御問題を数値解析の立場から解析した。実際、その近似最適制御問題を提唱し、その解をコンピュータを用いて数値実験的に求めるためのアルゴリズムを提案するとともに、その収束性を理論的に証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
指示関数の劣微分項を吉田近似する数値計算法を考察する過程において、解の値が閾値[-1,1]を超えないような近似方法を開発し、安定した数値実験結果を得るための条件を理論的に明らかにすることができた。さらに、コンピュータを用いた数値実験を行い、得られた理論結果の妥当性も検証することができた。これは当初の計画では予想していなかった研究成果である。
また、特異拡散項を滑らかな関数で近似した偏微分方程式系に対する最適制御問題の解をコンピュータを用いて数値実験的に求めるためのアルゴリズムの提案とその収束性を理論的に証明することができた。これは、今後、コンピュータを用いて結晶粒界数理モデルの解や最適制御問題の解を、数値実験的に求めるうえで、非常に意義のある研究成果である。
以上のことから、総合的に考えると、交付申請書に記載した「研究の目的」の達成度については、『おおむね順調に進展している。』と言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
Kobayashi 達により提唱された空間２次元の数理モデルは、完全に結晶化された後の運動方程式であり、体積が保存されている現象である。近年、力学境界条件を課した Allen-Cahn方程式が盛んに研究されているが、それを用いても体積保存された物質の界面を記述することができるのではないかと考えている。そこで、本年度は、力学境界条件を課した Allen-Cahn方程式の特異極限問題を考察し、界面運動の挙動の解析を行う。また、境界条件の違いが、例えば、力学境界条件とノイマン境界条件との違いが解の構造にどのような影響を与えるのかについても考察する。
また、Kobayashi－Warren－Carter により提唱された結晶粒界モデルの最適制御問題を考察する。それは解の一意性が示されていない連立の特異拡散非線形偏微分方程式系である。従来の最適制御理論は、微分方程式の解が一意であることを前提としているため、従来の理論は解の一意性が示されていない問題に直接適用できない。そこで、適切な近似最適問題を提唱し、それを経由しながら、解の一意性が保証されていない数理モデルに対する最適制御理論の構築を試みる。
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| Causes of Carryover |
ドイツ・ベルリン、WIAS研究所の M. Hassan Farshbaf-Shaker 氏と研究打ち合わせするための国外旅費（１ヶ月）を計上していたが、ドイツに訪問することができなかった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
ポーランド・ワルシャワ、ワルシャワ大学 ICMの 剣持信幸氏と研究打ち合わせするための国外旅費〔2017年6月（１週間）、2018年２月（１ヶ月）を予定〕として使用する。
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