2015 Fiscal Year Research-status Report
Thomassen予想とTutte閉トレイル問題の研究
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26400190
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
善本 潔 日本大学, 理工学部, 教授 (90307801)
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2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ハミルトンサイクル / 偶グラフ / Thomassen予想 / ３正則グラフ / 支配的グラフ / レインボーサイクル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２７年度は、４月に中国・福州大学で開催された組合せ論国際会議に出席し、仏CNRSのLi教授と、本研究者とLi教授、Faudree教授との共同研究による成果、最小次数が大きい稠密なグラフにおける指定した非交差な頂点集合X, Yを交互に通るハミルトンサイクルの存在の拡張について議論した。
１０月にチェコ・西ボヘミア大学のCada准教授を招聘し、国立情報学研究所の小関助教と３人で共同研究を行い、Thomassen予想と直接関係する、３正則グラフにおける、全ての点の次数が偶数である偶グラフの最小成分数について研究し、本研究者とJackson教授の結果、essentially 3-edge-connectedグラフは、全域的な偶グラフで、どの成分も５頂点以上からなるものをもつ、を拡張した結果を完成させた。すなわち、全域性を、どの辺も接続しているという、支配性に条件をゆるめ、essentially 3-edge-connected３正則グラフが、支配的な偶グラフで、どの成分も６頂点以上からなるものをもつことを示した。
１２月に、オーストラリア・ブリスベン大学で開催された国際会議に出席し、Cada准教授、Kaneko博士、Ryjacek教授との共同研究によって得られた、稠密な辺着色されたグラフにおけるレインボーサイクルの存在についての講演を行った。即ち、すべての辺を着色し、どの点からも位数の２分の１＋２以上の異なる色で塗られた辺があれば、全ての色が異なる（レインボーな）長さ４以上のサイクルが存在することを示した。この結果は、Li教授の長さ３のレインボーサイクルの存在についての結果を発展させた我々の予想の特別な場合になっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
Thomassen予想、すなわち４連結ライングラフはハミルトンサイクルをもつ、の解決のために重要な３正則グラフの研究が大いに進んだ。第一歩となるJackson-善本の結果の、支配的偶グラフへの拡張が完成した。
証明の基本的な手法は、グラフのレダクションで、三つの、五角形を幾つか組合せて得られるグラフ-セルと呼ぶ-を特殊な方法で小さくする手法の開発が完成した。
特に当初多くのセルをレダクションしなければならないと思われていたが、証明を完成させる過程で、三つに減らすことに成功したことが大きい。このことにより、さらに主張を発展させるときの戦略を見通せるようになった。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究者と、Cada准教授、千葉講師、小関助教による共同研究によって得られた、essentially 3-edge-connected３正則グラフにおける支配的偶グラフの存在の拡張を行う。全域性についてのJackson-善本の結果は、一般のグラフにおける主張であり、上記のCada-千葉-小関-善本の結果についても、一般のグラフへの拡張が問題になる。
その場合の障害はわかっているが、その解決の手法は、Jackson-善本の結果における全域性の場合と異なり、支配性では全く新しい手法、または特徴の発見が必要となる。２８年度も、６月と１１月にRoman准教授を招聘し、その解決のための共同研究を行う予定である。
また、稠密なグラフのハミルトン性についての研究は、ハミルトン性を弱めた２因子の研究が重要である。６月に中国・西北工業大学のBinlong准教授を訪問し、稠密性をゆるめ、ライングラフがもつ性質-クローフリー性とを組み合わせた条件のもとでの２因子の存在について共同研究を行う予定である。
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| Causes of Carryover |
共同研究のための招聘費用／旅費として準備したものが残ったため
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
共同研究のために、招聘費用及び旅費として使う。
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