2017 Fiscal Year Annual Research Report
New High-Accurate Numerical Methods for Inverse Problems by the Direct Computations of Integral Equations of the First Kind
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26400198
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
藤原 宏志 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (00362583)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
滝口 孝志 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 准教授 (50523023)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 数値解析 / 非適切問題 / 第一種積分方程式 / 多倍長計算 / 高精度計算 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は，典型的な逆問題として知られる逆散乱問題の数値計算に対し，高精度数値計算環境下における数値解の新たな意味づけを与えることを目的とするものである．この逆散乱問題は滑らかな核をもつ第一種積分方程式により定式化されるが，自然な関数空間(位相)のもとでコンパクト作用素となることから，逆作用素は代数的に構成できたとしても連続になり得ず，数値計算においては積分の離散化に起因する離散化誤差とともに，電子計算機上での実数の近似にともなう丸め誤差が増大し，直接的な計算は破綻することが知られていた．昨年度までにこの第一種積分方程式の解(仮想ポテンシャルと位置付けられる)が大きく振動するものの，ある何らかの規則性をもつことを予想していた．本年度はこの規則性を定量的に調べた．具体的には，数値計算で得られたポテンシャル関数の積分量を調べたところ，離散化数を大きくするにしたがって一定の値に収束する結果を得た．超関数論の視点からはこの積分量は意味をもつことが推測され，これら数値計算結果と理論の両面から精度および信頼性の高い数値計算が実現されていることが判明した．また本研究は，これら理論的立場のみならず，高精度な数値計算環境の整備，すなわち多倍長計算ソフトウエアの整備も同時におこなった．前年度までに，科学・技術計算で近年普及している商用ソフトウエアであるMatlab用のインターフェースを作成していたが，本年度はそれをもちいた高精度計算や非適切問題のサンプルプログラムを公開し，同時に論文としてまとめた．この環境は国内外の講習会などにおいて大学院生も含めて広く利用されるに至ったが，この研究発表を通じ，本研究では想定していなかった計算環境への移植可能性について問われるなど，新たな研究の方向性も得られた．
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