2014 Fiscal Year Research-status Report
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26400200
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
谷口 隆晴 神戸大学, システム情報学研究科, 講師 (10396822)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 有限要素外積解析 / 解析力学 / エネルギー保存則 / 離散勾配法 / Webster方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，空間方向の構造保存型数値解法として，近年，注目を集めている有限要素外積解析と，時間方向の構造保存型数値解法として有力な方法とされている離散力学理論を融合させ，より強力な構造保存型数値解法の枠組みを構築することを目的としている．
平成２６年度は波動型の方程式に対し，有限要素外積解析と両立可能であるようなハミルトン構造を導出した．これ以前の研究において，有限要素外積解析の理論とある種のラグランジアンを用いた波動型方程式の弱形式が両立可能であることが分かっていた．本理論では，これをルジャンドル変換によってハミルトン力学側の理論に変換したものである．これによってハミルトン力学的な離散力学理論が有限要素外積解析による空間離散化法と両立する形で適用可能となる．具体例としては，離散勾配法と組み合わせることで，エネルギー保存スキームの導出が可能である．
また，時間方向の構造保存型数値解法の一つである離散勾配法について，その幾何学的・力学的な背景について考察した．声道内の音波などを記述する方程式としてWebster方程式が知られているが，この方程式はある種の重みつき内積をもつ内積空間上で記述すると簡素な形に記述できる．本研究では，当初，このことと離散勾配法を用いてWebster方程式に対する数値解法の導出を目指したが，結果として，重みつき内積を用いても良質の数値計算法を得ることはできなかった．しかし，重みつき内積が有効に活用されなかった原因を考察した結果，離散勾配法には内積の選び方に関する不変性が存在することを明らかにできた．これは，離散勾配法の離散力学的な側面の理解につながる結果である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
離散力学理論ではハミルトン方程式が対象となる離散化手法が多く知られている．そのため，有限要素外積解析と両立するハミルトン方程式を導出できたことは，これらの手法の適用を容易にする．
また，離散勾配法についても，その力学的な背景が明らかになりつつある．これを利用することで有限要素外積解析との連携もやりやすくなると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
有限要素外積解析は楕円型偏微分方程式の離散化法として提案されたものであるため，発展型に拡張するには，双曲型偏微分方程式よりも放物型偏微分方程式のほうが適用しやすいと予想される．放物型偏微分方程式は，主として拡散現象を記述する方程式であるが，ある種の拡散現象を記述する常微分方程式にはハミルトン構造が存在することが分かった．そこで，この構造をうまく利用することで，放物型方程式に対する離散力学理論が構築できないかどうか，その可能性について検討する．
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| Causes of Carryover |
離散勾配法の力学理論的な側面に関する研究が，当初，予定していなかった形に進み，多くの成果が出た．そのため，次年度以降に関する研究発表のための費用が必要となったため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度使用額については，離散勾配法の力学的理論に関する研究についての研究発表旅費および論文別刷り代として使用する．翌年度請求額については，主に，有限要素外積解析の理論の発展に関する研究発表費用や成果開示のために使用する．
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