2017 Fiscal Year Research-status Report
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26400257
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| Research Institution | Meiji Gakuin University |
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Principal Investigator |
酒井 一博 明治学院大学, 法学部, 講師 (10439242)
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2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | ヤコビ形式 / 例外群 / 楕円種数 / 分配関数 / E弦 / ワイル群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
M理論の基本構成要素であるM5ブレーン上の低エネルギー励起のなす理論の探究は、M理論の全貌を解明する上で欠かせない。中でも、M9ブレーンに重なったM5ブレーン上に現れる低エネルギー理論はE弦理論として知られ、よく知られている多重M5ブレーン上の理論と並ぶ基本的な模型である。多重M5ブレーン上の理論やE弦理論は、粒子の代わりに弦を基本構成要素とする理論である。この弦の世界面上の2次元理論に対して定義される楕円種数は、超対称性指数を一般化したものであり、理論のスペクトルを特徴づける最も基本的な関数である。
楕円種数は、弦の世界面が乗る2次元トーラスのモジュラスに関するモジュラー対称性と、大域的対称性の電荷に関する準二重周期性を併せ持つことから、一般にヤコビ形式の組み合わせで書かれる。ヤコビ形式とは、モジュラー不変性と準二重周期性を併せ持つ多変数正則関数である。加えて、E弦理論のように非自明な大域的対称性を持つ理論の楕円種数は、大域的対称性の電荷に作用するワイル群の対称性をも併せ持つ。このため、これらの理論の楕円種数は一般に、ワイル群不変なヤコビ形式を用いて構成される。
ワイル群不変なヤコビ形式は環をなし、その一般構造については25年前のヴィルツミュラーによる先駆的研究があるが、ワイル群が例外型E_nの場合については、先行研究がほぼ皆無であった。そこで本研究では今年度、この例外型ワイル群不変なヤコビ形式について、研究を行った。
本研究では、まず、ヤコビのテータ関数を用いていくつかの基本的な例外型ワイル群不変なヤコビ形式を具体的に構成した。これをもとに、研究代表者が過去に構成したE弦理論のザイバーグ・ウィッテン曲線の性質を利用することで、例外型ワイル群不変なヤコビ形式の環の生成子の完全な組を、初めて具体的に構成した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画では、M2ブレーン上の理論のBPS解を足がかりとしてM5ブレーン上のBPS状態のスペクトルを解析する予定であったが、その後2013年から2014年にかけて、E弦理論をはじめとする6次元の場の理論の研究が予想以上の進展をみせたため、本研究でも計画を修正して、超対称性を利用し直接6次元理論を解析する方法に切り替えた。その結果、本年度は、E弦理論の研究成果を利用して、例外型ワイル群不変なヤコビ形式の環の生成子を構成することができた。この結果は、一般の6次元弦理論の楕円種数を構成する上での基本的な道具立てとして、今後役立つと期待される。
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| Strategy for Future Research Activity |
M5ブレーン上の6次元弦理論の楕円種数の研究は、他の研究グループの成果も含めて、この一、二年で急速な進展があり、一定程度の理解が得られた。昨年来試みているヤコビ形式やモジュラー形式を用いた分配関数の解析は、M5ブレーン上の6次元弦理論の楕円種数だけでなく、他の2次元理論の分配関数にも適用できると考えられるので、今後はしばらくこの方向性の研究を模索する。
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| Causes of Carryover |
大学学内業務のスケジュールの関係で、予定していた研究会への参加を一部見送らざるを得なかった。
科研費による旅費を用いて、今年度も国内外の研究会に積極的に参加し、最新情報の収集に努め、当該研究の遂行に役立てる。
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