2014 Fiscal Year Research-status Report
可積分非平衡統計力学模型による揺動と相関の新理論構築
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26400405
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
香取 眞理 中央大学, 理工学部, 教授 (60202016)
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2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 非平衡統計力学 / 可積分確率過程 / ランダム行列理論 / 時空相関関数 / マルチンゲール / 行列式過程 / 揺動と相関 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) エルミート行列に値をとるブラウン運動の固有値確率過程は１次元上の相互作用するブラウン粒子系とみなせる。ランダム行列の分野ではこれを「パラメータβ＝2の Dyson のブラウン運動模型」とよぶ（以下、Dyson 模型と略称する）。確率論においては、この多粒子確率過程は、Weyl chamber とよばれる部分配置空間内における吸収壁ブラウン運動を Vandermonde 行列式で与えられる調和関数を用いて調和変換したものとして定式化される。他方、数理物理の分野においては、Dyson 模型は可積分確率過程の典型例として研究されている。ここでいう可積分性とは、任意の時空相関関数が時空点数のランクをもつ行列の行列式で表され、その行列の成分はすべて単一の連続関数（相関核とよばれる）の特殊値として与えられることを意味する。このような強い可積分性を持った確率過程を特に行列式過程とよぶことにする。我々は本研究において、行列式マルチンゲールという新しい概念を導入することにより、調和変換で与えられる多粒子確率過程は一般に行列式過程であることを証明することに成功した。そこにおいて、行列式マルチンゲールの要素を与える１粒子マルチンゲール関数と１粒子推移確率密度を用いて相関核を露わに与える公式を導くことができた。その結果、従来は多重直交関数系の構成とその積分表現を得ることで初めて行うことが出来た計算が、与えられた確率微分方程式から直接的に行えるようになった。
（２）Dyson 模型を三角関数や楕円関数で表される確率過程や時空を離散化した模型に拡張し、上述の公式を応用することにより、それらが行列式過程であることを証明した。
（３）マルチンゲールは確率論で用いられる概念であるが、統計物理学的には揺動過程を表すものである。上述の公式は非平衡可積分系での相関と揺動の関係を与えるものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
行列式マルチンゲールと行列式過程の関係を一般的に議論した論文、Dyson 模型を離散化した非衝突ランダムウォークが行列式過程であることを証明した論文、また、Chern-Simons 理論と関係ある行列式点過程に関する論文の計３編の論文を発表することが出来た。研究はおおむね順調に進展しているものと思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
揺動過程を表すマルチンゲール関数は初期配置の汎関数として与えられる。このマルチンゲール関数と推移確率密度とを用いて相関核を与える公式は一般的であるが、初期配置が特別な場合、相関核に対してコンパクトな表現が導かれる。このコンパクトな表現を用いると無限粒子極限を考えることが容易になる。他方、このようなコンパクトな表現を持たない一般の初期配置に対しては、課題が多く残っている。また、揺動と相関との関係はこの公式で明示されたが、本研究においては、外力に対する応答関数といった物理量に対する概念がまだ欠如している。これら未解決の問題について研究を進める予定である。
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