2017 Fiscal Year Research-status Report
可積分非平衡統計力学模型による揺動と相関の新理論構築
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26400405
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
香取 眞理 中央大学, 理工学部, 教授 (60202016)
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2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 対数ガス / 可積分相互作用粒子系 / 行列式点過程・行列式過程 / 時空相関関数 / 楕円関数・ヤコビテータ関数 / アフィン・ルート系 / 無限次元SLE / 臨界現象・フラクタル現象 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
（１）対数ポテンシャルで与えられる２体斥力をもつ相互作用粒子系を一般に対数ガスとよぶ。その長距離斥力相互作用の強さを表すパラメータの値を大きくしていくと、固体的な巨視的状態から液体的な状態への転移が起こることが期待される興味深い研究対象である。そのパラメータをある特別な値に設定すると、対数ガス系は次の意味で可積分系となる：全粒子数 N 以下の粒子数 n に対して定義される n-体相関関数が、すべて唯一の連続関数（相関核）で指定される行列式で顕わに与えられる。n-体相関関数が空間相関関数に限定される場合、この可積分系は「行列式点過程」とよばれ、時空相関関数一般に対し成立するとき「行列式過程」とよばれる。行列式点過程の典型例としてランダム行列の固有値分布があり、ガウス型ユニタリ―集団（GUE)に代表され相関核が直交多項式で表される古典的なクラス、Circular 集団に代表され相関関数が三角関数で表されるクラスがよく知られている。これらに対応する動的な粒子系の構成に対して、本科研費研究において「行列式マルチンゲール法」という新しい手法を開発した。これを用いて、相互作用ポテンシャルが楕円関数で与えられ、相関核がヤコビのテータ関数で表される新しいクラスの行列式過程（楕円関数行列式過程）を構成した。これは数学的にはアフィン・ルート系の表現論と関係している。2006年に Rosengren と Schlosser によって７つの既約アフィン・ルート系に対して Macdonald 行列式公式が定式化されたが、それに対応して楕円関数行列式過程は７つのタイプに分類されることを明らかにした。
（２）平面上の臨界現象とフラクタル現象を統一的に記述する Schramm-Loewner 発展 (SLE) の無限次元拡張を行い、具体的な解を求めた。無限次元SLEと無限次元行列式過程との関係を論じた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
（１）楕円関数行列式過程の構成とその特徴づけは、７つのクラスのうち（アフィン・ルート系での用語に従って）A 型とよばれる系に対してまず研究を行ったが、結果的には、この A 型には他の６つのクラスにはない特殊性があることが分かった。そのため、研究の進展に時間がかかったが、A 型に対する成果を得たことにより、残りの６つのクラスに対する拡張はむしろ容易に進めることができた。その結果、7つの楕円関数行列式過程全般に対して、統一的に議論した論文を出版することができた。
（２）元来のSLEは複素上半面に代表される複素平面上の Jordan 領域内の１本のランダムな曲線（SLE曲線）に対して、共形不変な確率測度を与えるものである。得られた確率測度は１パラメータ族をなし、そのパラメータの値によって、さまざまな２次元臨界現象やフラクタル現象を表すことができる。このSLE曲線を複数本に拡張しようとするのが、multiple SLE 理論である。この multiple SLE における曲線の総数を N としたとき、これを無限大にして、いわゆる無限次元SLEを考えようという新しい研究が、del Monaco と Schleissinger というヨーロッパの研究者によって 2016 年に発表された。本科研費研究代表者は、行列式過程における無限粒子極限を研究してきたが、それとの関係を明らかにすることは重要な研究である。幸い、del Monaco、および Schleissinger と共同研究を行っていた堀田一敬氏（山口大学）と共同研究を行うことができ、この課題に関して研究成果を上げることができた。結果は学術雑誌に掲載され、研究経過は順調である。
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）楕円関数行列式過程の構成において、Rosengren と Schlosser による７つの Macdonald 行列式公式は大変重要なものであった。数学的には、彼らが用いた７つのクラスに分類されるテータ関数の特徴づけが重要であるが、変数をうまく与えることにより、それらが直交関数系をなすことが分かってきた。これに関して研究を続行し、直交テータ関数系の理論を構築し、それによって楕円関数行列点過程、さらにはその動的拡張である楕円関数行列過程を系統的に研究する予定である。
（２）楕円関数あるいはヤコビ・テータ関数のレベルは、三角関数や有理関数（多項式）の上位に位置するものであり、後者は前者の特別な極限として実現することができる。数学の数え上げ組み合わせ論の分野では、通常の数を拡張したq-数のレベルの研究が盛んに行われ大きな成果を上げてきた。それに対して近年、Schlosser は、楕円関数組み合わせ論という拡張を提案している。この楕円関数組み合わせ論を、ランダムな確率変数を取り扱う確率論に発展させ、さらには統計力学モデルへの応用を考えたい。これについては、Schlosser からの助言に基づき、大学院生の馬場裕哉君と具体的な統計力学モデルに関して研究を進めている。今後、Schlosser ともさらに議論を進めていくことを予定している。
（３）無限次元SLEの研究に関しては、関数論の観点からレヴナー方程式を研究している堀田一敬氏（山口大）と引き続き共同研究を行うとともに、この方向の研究の提唱者である Schleissinger 氏と情報交換を行い研究を進める予定である。
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