束(Lattice)の代数的構造を用いたセルオートマトンの統一的理論の構築

2016 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 26600156
• Research Institution: Ryukoku University
• Principal Investigator: 松木平 淳太 龍谷大学, 理工学部, 教授 (60231594)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 高橋 大輔 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (50188025)
• Project Period (FY): 2014-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: セルオートマトン / 超離散 / Max-Min-Plus / 保存量

Outline of Annual Research Achievements

セルオートマトンは独立変数のみならず、状態変数も離散的である数理モデルである。セルオートマトンの数理構造を明らかにする試みとして、Wolfram による1次元セルオートマトンのクラス分類など、数多くの研究が行われてきている。我々のグループは超離散化の手法によって1次元ソリトンセルオートマトンが偏微分方程式と対応づけ可能であることを示してきた。その際に大きな役割りを果すのは Max-Plus 代数であり、1次元ソリトンセルオートマトンの方程式、解とも Max-Plus 代数を用いて表すことができる。1次元ソリトンセルオートマトンは無限個の保存量の存在という特徴を持つが、一般の1次元セルオートマトンは少数の保存量しか持たない。

近年我々は、粒子数を保存量として持つ1次元セルオートマトンにおいて、Max-Min-Plus 表現が有用であることを発見した。前年度、その結果を粒子数以外の高次の保存量を持つ1次元セルオートマトンに適用したところ、同様に Max-Min-Plus 表現が有用であることを発見した。具体的には、2次の保存量を持つ1次元セルオートマトンの発展方程式の Max-Min-Plus 表現を得ることができ、その確率化にも成功した。一方、粒子数を保存する1次元多値セルオートマトンの中にも同様のクラスが存在することも発見した。

今年度はこれらの結果を一般化する代数的枠組みの構築に取り組んだが、研究の過程において個別事例の結果をさらに収集する必要があることが判明し、統一的な理論の構築の試みは現状ではうまくいっていない。次年度は個別事例を増やすことに重点を移すことを計画している。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

前年度までの結果を一般化する代数的枠組みの構築に取り組んだが、研究の過程において個別事例の結果をさらに収集する必要があることが判明し、統一的な理論の構築の試みがうまくいかなかったため。

Strategy for Future Research Activity

一般的な理論の構築する試みよりも、個別事例を増やすことに重点を移すことを計画している

Causes of Carryover

統一的な理論構築に関する研究の進捗に遅れが生じたため。

Expenditure Plan for Carryover Budget

統一的な理論構築の前段階である個別事例の研究に重点を移し、研究計画を再編成する予定である。