2015 Fiscal Year Research-status Report
Conformal代数とLie代数の具体的対応に関する研究
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26610007
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
永友 清和 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (90172543)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | conformal代数 / リー環 / 微分 / 頂点作用素代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非負の整数に対して積が定まる線型空間である種の交換関係をみたすものをconformal代数と云う。平成27年度はconformal代数の圏からリー代数の圏への関手を構成し，その関手の像を決定し，逆関手を構成した。これにより加算無限個の積をもつconformal代数を一つの積(括弧積)とJacobi律で定義されるリー代数の圏で特徴付けられたことになる。
Conformal代数Rの原始的要素の空間Qとその要素を成分とする形式的冪級数環L=Q[t,1/t]に2つの原始的に原始的限を対応させる双一次形式を定義し，それがLie環の構造を与えることを証明した。Jacobi律の証明には非常な困難があり，複雑な4変数多項式の恒等式と同値であることをまず証明した。この等式の証明は前述のもつ対称性から得られる恒等式を網羅することにより証明された。，さらにベクトル空間Qと形式的冪級数環L=Q[t,1/t]に定義された双一次形式がリー環である為にはQはconformal代数Rの原始的要素の線型空間であることを証明した。これにより，複雑な公理系をもつconformal代数を本質的に一つの公理系をもつリー環としてとらえることができる。よってconformal代数の圏からリー代数の部分圏へ関手を構成された。
圏同値の証明を完結するにはconformal代数からリー代数の圏への関手の像を特徴づけることである。3次元特殊線型リー代数sl(2)がL上のリー代数微分であることに注目し，sl(2)の表現空間から線型空間としてLと同型なベクトル空間を構成した。リーの括弧積の存在とconformal代数からリー代数への関手の構造を詳細に調べることにより，リー代数からconformal代数の部分空間Qへの関手を定義し，各関手は圏同値を定義することが証明された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要で述べたように，申請時に計画した研究計画の多くは以下のようにすでに得られている。まず，(conformal代数の圈からリー代数の圈の関手の構成) (1) conformal代数 R の圏からリー代数の圏への射 F を R の原始的要素とその間の原始的積を用いて括弧積を構成をうることにより与えた。((1)で構成した関手の象の決定 )(2) conformal代数の圏からリー代数の圏への射が与える部分圏Cをリー代数の圏において特徴付けに成功した。ここではconformal代数から構成するリー環が3次元単純複素リー環が微分として作用することが重要である。まず，リー環の線型空間のsl(2)-加群としての構造を詳しく調べ，conformal代数の原始的要素の空間と同値なものを決定した。次に具体的にリー環の括弧積を用いて，原始的積を定義し，この積が求めた線型空間にconfromal代数の構造を与えることを証明した。最後に(conformal代数とリー代数の部分圈Cとの圈同値の証明 ) (3) 次にこのようにして定義したリー代数の圏の部分圏Cからconformal代数の圏への射Gの構成を行った。ここではinvesrion foormulaと呼ばれる恒等式が圏同値と同等であることが同時に証明されている。 (非常に非自明なinversion公式を組み合わせ論的に証明して圈同値を与えた。)(4) Inversion formulaを用いて射FとGが互いに圏同値を与えることの証明を与えた。
以上の研究計画に記述した主な課題に関する成果を得たので，次に，この成果を用いてconformal代数の分類，頂点作用素代数の圈をconformal代数の場合と同じようにして特徴付ける研究を続けている。
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| Strategy for Future Research Activity |
当初の主な研究目的はすでに達成されたので，申請時に計画した今後の問題に取りくむ。主な研究目的はconformal代数の分類と頂点作用素代数に対するconformal代の得られた結果の類似の結果の証明である。
すでに得られた研究成果よりconformal代数はリー環の部分圏Cと同値である。したがって，conformal代数の分類は圏Cの対象の分類と同等である。研究の取掛かりとして，原始的要素が有限個のconformal代数(有限階conformal代数)に対応するリー代数の分類を計画している。さらに，この例で得られた結果から一般のconformal代数の分類を実施する予定である。この研究目的は今までに得られた成果を用いることが出来ると予想され，年度の半ばには達することができると考えられる。
さらに，今後の研究目的に向けてconformal代数よりも複雑な公理系をもつ頂点作用素代数を圏論的に特徴付けることを達成する研究を計画している。conformal代数は非負整数で定まる加算個の積を持つが，頂点作用素代数はより複雑に整数から定まる加算無限個の積を備えている。しかしながら，頂点作用素代数の負の積は(-1)積から一意的に定まっているので，実質的にはconformal代数に一個積を加えた代数系である。特に積を非負整数に制限すればconformal代数を得る。しかし，conformal代数の場合に比較してその公理系は結合律とよばれる非常に複雑な公理をもち，conformal代数から頂点作用素代数を構成する方法はまったくの未知であり，今後の重要な問題である。しかし，(-1)積から頂点作用素代数を構成することが出来ることを根拠に，conformal代数代数から(-1)積を構成し，頂点作用素代数を構成する研究をおこなう。これにより，conformal代数の場合を参考に圏論的特徴付けをする。
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