2015 Fiscal Year Research-status Report
ボット周期性を用いた混合モチーフおよび混合テイトモチーフの無限圏の構成
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26610010
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| Research Institution | Ube National College of Technology |
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Principal Investigator |
加藤 裕基 宇部工業高等専門学校, 一般科, 講師 (50707130)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 導来代数幾何学 / A^1ホモトピー理論 / 代数的K‐理論 / 代数的コボルディズム / ボット周期性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
導来代数幾何学をA^1ホモトピー理論方向に強化したモティヴィック導来代数幾何学の理論を構成した．モティヴィック導来代数幾何学の枠区組の中でK-理論スペクトラムのなす可換環スペクトラムを座標環としてもつアファインモティヴィックスタックを定義した．K-理論スペクトラムのアファインモティヴィックスタックの基点付き射影直線ループスタックと，ボット周期の対数微分形式の接束の間に自然な射が存在し，それが形式スタック間の弱同型を導くことを証明した．得られた成果は論文"Motivic delived algebraic geometry and loop stacks of the affine motivic stack of K-theory"にまとめ雑誌に投稿している．また，結果は日本数学会2016年度年会の一般公演および東北大学特別代数セミナーにおいて発表を行った．
さらに本年度はモティビック導来代数幾何学を用いて，代数的コボルディズムの周期化した環対象のスペクトラムがK-理論スペクトラムのループスタックの構造を持つことを証明し，その応用として代数的コボルディズムにアダムス作用素を導出されることを証明した. 結果は論文"The loop stack structure on the affine motivic stack of the periodic algebraic cobordism"にまとめて発表する予定である．また，周期的代数的コボルディズムを写像空間として持つモチーフの無限圏を構成した. 結果は"The $\infty$-category of $\mathrm{PMGL}$-motives"にまとめて発表する予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
周期的代数的コボルディズムを係数とするモチーフの無限圏が構成できるためボット周期を用いた混合モチーフの無限圏の構成の一部の目標は達成できつつあると言える．ただし，当初の予定とは別方向の発展の可能性ともいえるため，本来の研究目的と照らし合わせて研究の推進あるいは軌道修正を行う必要がある．モチーフの無限圏の構成に関して本年度中に数学の内容に関する証明の目途が立ったたため，最終年度には論文の投稿が見込め学会発表ができる可能性が高いと思われる．
また，東北大学の花村昌樹氏と岩成勇氏の両氏と論文“"Motivic delived algebraic geometry and loop stacks of the affine motivic stack of K-theory”について意見を聞く機会を得ることができた．これにより本研究の推進の方向性についても意見を聞ける可能性が高い．
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| Strategy for Future Research Activity |
論文"Motivic delived algebraic geometry and loop stacks of the affine motivic stack of K-theory"についてカナダで行われる研究集会"The International Category Theory Conference (CT)2016"で発表を行い，Joyal等をはじめ海外の研究者にモティヴィック導来代数幾何学に関する意見を聞く予定である．
論文"The loop stack structure on the affine motivic stack of the periodic algebraic cobordism"および"The $\infty$-category of $\mathrm{PMGL}$-motives"は完成次第東北大学の花村昌樹氏に意見を聞く予定である．当初の予定通り，K-理論スペクトラムを写像空間として持つモチーフの無限圏を構成しボット周期の対数微分形式を用いて混合Tateモチーフの無限圏の構成も完成させる予定である．
別方向の発展であるが，モティヴィック導来代数幾何学の非可換版を構成しループスタックの理論により周期的代数的コボルディズムの非可換版の定式化を行う．
どの方向に研究を発展させるのが学術的意義があるのかを考えながら意見を聞き研究を進めて行く．
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| Causes of Carryover |
予定していた海外出張が入試業務と重複したため，海外出張を延期する必要があった．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
カナダで行われる国際研究集会International Category Theory Conference(CT) 2016において投稿論文“Motivic derived algebraic geometry and loop stacks of the affine motivic stack of K-theory”の発表を行う予定である．
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