2015 Fiscal Year Research-status Report
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26610011
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
宮岡 礼子 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70108182)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | ガウス写像の除外値 / 完備極小曲面 / Nevanlinna理論 / Cohn-Vossen型不等式 / 対数微分の補題 / 周期条件 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数的完備極小曲面のガウス写像の除外値問題に取り組んできた．
除外値は２であろうと予想して，以前構成した除外値が２の例を参考にして，除外値より詳しい完全分岐値数の評価を試みた．代数的議論により，ガウス写像により曲面に誘導されるフビニスタディ計量と，双曲計量による面積比としてえられる不変量Rを見出し，Ossermannによる先行研究を深めることができた．
他方，普遍被覆にデータをリフトし，Nevanlinna理論をそこで構築する試みに挑戦している．ここでは，誘導計量と円盤の平坦計量の相性が非常に悪いため，議論に多くの工夫を要する．例えば，基本領域の形が双曲等長変換で様々に変化するので，トランケートされた部分の面積増大度を評価することは極めて困難であり，Nevanlinna理論で必須となる極限評価に支障が出る．これを放物型変換に限って考察し，最も影響の大きい変化を評価することができた．しかしこれを採用するに際しては，確率論的考察が必要となり，困難が残っている．
さらに最終的には周期条件をどう活かすかという難問があり，アイディアはあるが，最終結果には今しばらく時間を要する．
これとは別の手法として，普遍被覆に持ち上げず，従来の方法でも解決を試みている．a方向の高さ関数hの臨界点で, ±aは曲面の法方向となるが，aが除外値であれば，そこでの法方向は-aであることから，フラックス公式を用いて他の二つの除外方向との間に関係が生じ，これを解析することにより，何かヒントが得られるのではないかと考えている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
前半で面積比の評価，後半でNevanlinna理論を扱っている．前半では議論はかなり進行しているが，数学の言葉できちんと表現する点が不十分である．後半は多くの無限操作を施す不等式が現れるので，慎重な議論が必要で，今しばらく時間を要する．
この手法を貫いて数学的に記述することは，今の時点で順調であるとは言いがたい．例えば，除外値が3になるという仮定の下で，曲面の種数や穴の数に制限が出てくれば，場合を限っての議論に落とすことができ，より明確な議論につながると考えている．従って除外値が3でありうる場合をまず考察し，背理法的名証明も考えるべきと思う．研究実績の概要にあるように，古典的な手法で今一度考えることも重要であると考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
共同研究者の名大，小林亮一氏と議論をしている．共同研究としては，今後もこの方針で進めるが，議論に温度差もあるので，ここを詰めることすなわち研究の進展と考えている．
第２の観点として，まずフラックス公式から３つの除外方向があると，±のペアで除外される方向はあり得ない．従って，a,b,cを除外方向とすると，どの二つの方向も互いに独立である．今，a方向の高さ関数hの臨界点で, ±aは曲面の法方向となるが，aが除外値であれば，そこでの法方向は-aである．同様に-b, -cは法方向として現れるが，a,b,c方向は現れないこととなる．-a,-b,-c以外の方向はすべてプラスマイナスの両方向が法方向として現れる．曲面の位相を考えるとき，種数が１以上あると，法方向がプラスマイナスの両方向をとる可能性が増えるというのが直感であり，プラスマイナスの両方向をとらないものが3つもあるということは，可能性として種数は小さいものでしかあり得ない．種数がもし制限されれば，極端な話，曲面が双曲型になり辛いので，除外値数３は起こり辛くなる．こうした考察をきちんと行うことが，第２の解決法として考えられる．しかし，最後に不可欠な周期条件の考察をどう反映させるかは大きな課題であり，Nevanlinna理論を用いるにせよ，用いないにせよ，緻密な計算によるか，もしくは幾何学的アイディアが使えるか，深い考察が必要である．
以上の二つの観点から今後の研究を行って行く．
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| Causes of Carryover |
年度当初，研究成果発表の出張，小研究会を考えていたが，研究の進行状況により，次年度に行うこととした．当研究課題では海外の研究も多少は進展があるとはいえ，まだ画期的進展には至っておらず，国際研究集会も次年度に行うことが適当であると判断している．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
引き続き，共同研究のための名大出張，成果発表のための国内外出張，最終年度に当たり，小研究会の企画をする．我々はR3の極小曲面を扱っているが，既に余次元の高い極小曲面のガウス写像の除外値問題，また，曲面ではなく極小超曲面の除外値問題，などへの拡張も試みられているので，より広い視野での研究集会を企画するには，もう少し計画を練るという意味で，次年度開催が適当であると考えている，
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