2017 Fiscal Year Annual Research Report
Geometric value distribution theory
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26610011
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
宮岡 礼子 東北大学, 高度教養教育・学生支援機構, 総長特命教授 (70108182)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 代数的極小曲面 / ガウス写像 / フビニスタディ計量 / 双曲計量 / ネバンリンナ理論 / 対数微分の補題 / 除外値数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数的極小曲面のガウス写像の除外値数の評価について，予想とする2以下を示すことを目標とし，研究を行っている．H28年夏に ブラジルから出た論文で解決されたとの情報があり，その論文の検証を行ったが，金沢大の川上裕氏により，正しくないことが検証され，我々の研究を継続する意味が生じた. 我々の手法は，ネバンリンナ理論を通常の複素平面ではなく，複素円板上で行うという点で他に類を見ない手法であり，参考にすべき先行研究がないため，多くの困難を伴っている.極小曲面の基本領域は，その普遍被覆である複素円板にリフトされることで全てのデータもリフトされ，特にガウス写像が円板からの有理形関数となる.ここで重要なのは，曲面の基本群が円板に作用していることであり，その群作用が本質的役割を担う．また値分布を調べるためには，円板を半径rに制限したD(r)上の個数関数と接近関数の増加度を評価する必要があるが，複素円板に分布する基本領域の変形により，この評価は容易ではない.第１段階として，ガウス写像によるフビニスタディ計量の引き戻しと，複素円板の双曲計量の二つでこの量を測り，その比を上から評価することを考え，これは既に結果が出ている.ただし，明快な証明を与えることは非常に困難で，多くの時間を費やしている. 第2段階として，最も重要な周期条件をどう活かすかという観点で，ワイエルシュトラス表現のサイクル毎の周期が純虚数であるという条件を，指数関数の肩に乗せると絶対値が基本群の作用で不変であるという観点で用いる.その結果，この関数に対する対数微分の補題を示すことができ，ネバンリンナの第2主要定理につなげて，除外値数の評価を得る. ストーリーとしてはこのように組み立てられているが，細部を厳密に証明することを引き続き行っている. 当科研費は，共同研究者の小林亮一名大教授とのやり取りのため主として使用した.
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